Trigonometreg

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Fotothek df tg 0000230 Geometrie ^ Trigonometrie.jpg
Data cyffredinol
Enghraifft o'r canlynolmaes o fewn mathemateg Edit this on Wikidata
Mathgeometreg Edit this on Wikidata
Tudalen Comin Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia
Rheolau Syml Trig

Mae trigonometreg (Groeg: τρίγωνον "triongl" + μέτρον "mesur") yn gangen o fathemateg sy'n delio gyda hyd ochrau ac onglau thrionglau, yn enwedig y trionglau ongl sgwâr. Gelwir trigonometreg yn "trig" yn anffurfiol. Mae trigonometreg yn delio gyda'r berthynas rhwng ochrau a'r onglau a'r ffwythiannau trigonometregol sy'n disgrifio'r perthnasau hynny.

Mae gan drigonometreg gymwysiadau mewn mathemateg bur ac mewn mathemateg gymhwysol, ac ystyrir y ddisgyblaeth hon yn anghenrheidiol o fewn nifer o ganghennau o wyddoniaeth a thechnoleg. Câi ei dysgu mewn ysgolion uwchradd fel naill ai cwrs ar wahân neu fel rhan o gwrs cyn-galcwlws.

Gall yr holl ffwythiannau trigonometregol ongl θ gael eu creu yn geometregol yn nhermau cylch unedol o amgylch O.
Y ffwythiannau sin(x) a cos(x) wedi'u graffio

Daeth y maes i'r amlwg yn yr oes Helenistaidd yr ystod y 3g CC o gymhwyso geometreg ac meysydd eraill megis astudiaethau seryddol.[1] Canolbwyntiodd y Groegiaid ar gyfrifo 'cordiau' (ee <i>Almagest</i> Ptolemy), tra chreodd mathemategwyr India y tablau gwerthoedd cynharaf y gwyddys amdanynt ar gyfer cymarebau trigonometrig, a elwir hefyd yn swyddogaethau trigonometrig ee sin.[3]

Trwy gydol hanes, cymhwyswyd trigonometreg mewn meysydd fel geodesi, tirfesur, mecaneg nefol, a fforio.[2]

Mae trigonometreg yn adnabyddus am ei unfathiannau trigonometrig a ddefnyddir yn aml ar gyfer ailysgrifennu ymadroddion trigonometreg gyda'r nod o symleiddio'r mynegiad, dod o hyd i ffurf fwy defnyddiol o fynegiant, neu i ddatrys hafaliad.[3][4][5]

Gofod metrig[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae trigonometreg yn un disgyblaeth oddi fewn i Ofod:

Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg Sinusvåg 400px.png Hyperbolic triangle.svg Torus.png Mandel zoom 07 satellite.jpg Measure illustration.png
Geometreg Trigonometreg Geometreg Gwahaniaethol Topoloeg Geometreg ffractalaidd Theori mesuredd

Hanes[golygu | golygu cod y dudalen]

Credir maiHipparchus, a luniodd y tabl trigonometrig cyntaf, ac oherwydd hyn, adnabyddir ef fel "tad trigonometreg".[8] Myn eraill mai Nasir al-Din al-Tusi mathemategydd o Bersia yw tad go-iawn trigonometreg.

Astudiodd seryddwyr Swmeraidd fesur onglau, gan ddefnyddio rhanu'r cylch yn 360 gradd.[6] Fe astudio nhw (ac yn ddiweddarach y Babiloniaid) gymarebau ochrau trionglau cyflun (tebyg) a darganfod rhai priodweddau'r cymarebau hyn, ond ni wnaethant droi hynny'n ddull systematig ar gyfer dod o hyd i ochrau ac onglau trionglau. Defnyddiodd yr Nwbiaid hynafol ddull tebyg.[7]

Yn y 3g CC, astudiodd rhai mathemategwyr Helenistaidd fel Euclid ac Archimedes briodweddau cordiau ac onglau arysgrifedig mewn cylchoedd, a phrofwyd theoremausy'n cael eu hadnabod heddiw fel fformwlâu trigonometrig modern, er eu bod yn eu cyflwyno yn geometregol yn hytrach nag yn algebraidd. Yn 140 CC, rhoddodd Hipparchus (o Nicaea, Asia Leiaf) y tablau cyntaf o gordiau, sy'n cyfateb i dablau modern o werthoedd sin at ei gilydd, a'u defnyddio i ddatrys problemau mewn trigonometreg a thrigonometreg sfferig. [11] Yn yr 2g OC, lluniodd y seryddwr Groegaidd-Eifftaidd Ptolemy (o Alexandria, yr Aifft) dablau trigonometrig manwl ('tabl cordiau Ptolemy') yn Llyfr 1, pennod 11 o'i Almagest.[8] Defnyddiodd Ptolemy hyd cord i ddiffinio ei swyddogaethau trigonometrig, sy'n eithriadol o debyg i'r confensiwn sin a ddefnyddiwn heddiw.[13]

Aeth canrifoedd heibio cyn cynhyrchu tablau manylach, ac defnyddiwyd traethawd Ptolemy ar gyfer perfformio cyfrifiadau trigonometrig mewn seryddiaeth trwy gydol y 1,200 mlynedd nesaf yn y gwledydd Bysantaidd, Islamaidd, ac yn ddiweddarach, Gorllewin Ewrop.

Ardystiwyd y confensiwn sin modern gyntaf yn y Surya Siddhanta, sef erthygl Sansgrit o'r 15g, a chofnodwyd ei briodweddau ymhellach gan fathemategydd a seryddwr Indiaidd y 5g (OC) o'r enw Aryabhata.[14] Cyfieithwyd ac ehangwyd y gweithiau Groegaidd ac Indiaidd hyn gan fathemategwyr Islamaidd canoloesol. Erbyn y 10g, roedd mathemategwyr Islamaidd yn defnyddio pob un o'r chwe swyddogaeth trigonometrig, wedi tablu eu gwerthoedd, ac yn eu cymhwyso i broblemau mewn geometreg sfferig.[9][10] Disgrifiwyd y polymath Persiaidd Nasir al-Din al-Tusi fel crëwr trigonometreg fel disgyblaeth fathemategol ynddo'i hun.[11][12] Nasīr al-Dīn al-Tūsī oedd y cyntaf i drin trigonometreg fel disgyblaeth fathemategol yn annibynnol ar seryddiaeth, a datblygodd trigonometreg sfferig i'w ffurf bresennol.[13] Rhestrodd y chwe achos gwahanol o driongl ongl sgwâr mewn trigonometreg sfferig, ac yn ei Ffigur ar y Sector, nododd ddeddfau sin ar gyfer trionglau plân a thrionglau sfferig; darganfu gyfraith tangiadau ar gyfer trionglau sfferig, ac yn bennaf, darparodd brofion ar gyfer y deddfau hyn.[14]

Cyrhaeddodd gwybodaeth am ffwythiannau a dulliau trigonometrig Orllewin Ewrop trwy gyfieithiadau i'r Lladin o Almagest Groegaidd Ptolemy yn ogystal â gweithiau seryddwyr Persiaidd ac Arabaidd fel Al Battani a Nasir al-Din al-Tusi.[22] Un o'r gweithiau cynharaf ar trigonometreg gan fathemategydd yng ngogledd Ewrop yw De Triangulis gan y mathemategydd Almaeneg Regiomontanus o'r 15g, a gafodd ei annog i ysgrifennu, a darparu copi o'r Almagest, gan yr ysgolhaig Groegaidd Bysantaidd Basilios Bessarion a bu'r ddau'n cyd-fyw am sawl blwyddyn gyda'i gilydd.[15] Ar yr un pryd, cwblhawyd cyfieithiad arall o'r Almagest o'r Groeg i'r Lladin gan fathemategydd o Greta (fwyaf o ynysoedd Gwlad Groeg) George o Trebizond.[16] Ychydig iawn o wybodaeth oedd wedi cyrraedd Ewrop, hyd nes iNicolaus Copernicus neilltuo dwy bennod o De revolutionibus orbium coelestium i egluro ei gysyniadau sylfaenol.

Wedi'i sbarduno gan ofynion mordwyo a'r angen cynyddol am fapiau cywir o ardaloedd daearyddol mawr, tyfodd trigonometreg yn gangen fawr o fathemateg yn Ewrop hefyd.[17] Bartholomaeus Pitiscus oedd y cyntaf i ddefnyddio'r gair, gan gyhoeddi ei Trigonometria ym 1595.[18] Disgrifiodd Gemma Frisius am y tro cyntaf y dull triongli (triangulation) sy'n dal i gael ei ddefnyddio hyd heddiw wrth fesur tir. Leonhard Euler a ymgorfforodd rifau cymhlyg i fewn i digonometreg. Roedd gweithiau mathemategwyr yr Alban - James Gregory yn yr 17g a Colin Maclaurin yn y 18g - yn ddylanwadol yn natblygiad cyfresi trigonometrig.[19] Hefyd yn y 18g, diffiniodd Brook Taylor gyfres gyffredinol Taylor.[20]

Cymarebau trigonometrig[golygu | golygu cod y dudalen]

Yn y triongl sgwâr hwn: sin A = a / c ; cos A = b / c ; tan A = a / b .

Cymarebau trigonometrig yw'r cymarebau rhwng ymylon y triongl sgwâr. Rhoddir y cymarebau hyn gan y ffwythiannau trigonometrig canlynol o'r ongl hysbys A, lle mae a, b ac c yn cyfeirio at hyd yr ochrau yn y ffigur sy'n cyd-fynd:

  • Ffwythiant Sine (sin), a ddiffinnir fel cymhareb yr ochr gyferbyn ag ongl yr hypotenws.
  • Ffwythiant cosin (cos), a ddiffinnir fel cymhareb y goes gyfagos (ochr y triongl sy'n ymuno â'r ongl i'r ongl sgwâr) i'r hypotenws.
  • Ffwythiant tangiad (tan), a ddiffinnir fel cymhareb y goes gyferbyn â'r goes gyfagos.

Y hypotenws yw'r ochr gyferbyn â'r ongl 90 gradd mewn triongl sgwâr; hi yw ochr hiraf y triongl ac un o'r ddwy ochr wrth ymyl ongl A. Y goes gyfagos yw'r ochr arall sy'n gyfagos i ongl A. Yr ochr arall yw'r ochr sydd gyferbyn ag ongl A. Weithiau defnyddir y termau perpendicwlar a sylfaen ar gyfer yr ochrau cyferbyniol a chyfagos. Gweler isod o dan Mnemonics.

Gan fod unrhyw ddwy driongl sgwâr (sydd â'r un ongl lem A) yn debyg,[21] mae gwerth y gymhareb trigonometrig yn dibynnu ar ongl A yn unig .

Enwau cilyddol y ffwythiannau hyn yw cosecant (csc), secant (sec), a cotangent (cot), yn y drefn honno:

Mae cosin, cotangent, a cosecant yn cael eu henwi felly oherwydd eu bod yn y drefn honno yn sin, tangiad, a secant yr ongl gyflenwol sydd wedi'i dalfyrru i "cyd-".[22]

Gyda'r ffwythiannau hyn, gellir ateb bron pob cwestiwn am drionglau mympwyol trwy ddefnyddio deddf sin a deddf cosin.[23] Gellir defnyddio'r deddfau hyn i gyfrifo'r onglau ac ochrau sy'n weddill o unrhyw driongl cyn gynted ag y bydd dwy ochr a'u ongl gynhwysol neu ddwy ongl ac ochr neu dair ochr yn hysbys.

Cofyddiaeth (Mnemonics)[golygu | golygu cod y dudalen]

Defnydd cyffredin o mnemonics yw cymorth i gofio ffeithiau a pherthnas mewn trigonometreg. Er enghraifft, gellir cofio'r cymarebau sin, cosin, a thangiad mewn triongl dde trwy eu cynrychioli nhw a'u hochrau cyfatebol fel rhaff o lythrennau. Er enghraifft, mnemonig yw SOH-CAH-TOA:[24]

S ine = O pposite ÷ H ypotenuse
C osine = A gyfagos ÷ H ypotenuse
T angent = O pposite ÷ A cyfagos

[25]

Y cylch fel uned a gwerthoedd trigonometrig cyffredin[golygu | golygu cod y dudalen]

Ffig. 1a - Sin a chosin ongl θ wedi'i ddiffinio gan ddefnyddio'r cylch uned.

Gellir cynrychioli cymarebau trigonometrig hefyd gan ddefnyddio'r uned y cylch, sef cylch radiws 1 wedi'i ganoli ar darddiad y plaân.[26] Yn y gosodiad hwn, bydd ochr-derfyn ongl A wedi'i gosod mewn yn y safle arferol, yn croestorri'r uned y cylch ar bwynt (x, y), lle a .[26] Mae'r gynrychiolaeth hon yn caniatáu cyfrifo gwerthoedd trigonometrig cyffredin, fel y rhai yn y tabl canlynol:[27]

Ffwythiant 0
sin
cosine
tangiad anniffiniedig
secant anniffiniedig
cosecant anniffiniedig anniffiniedig
cotangent anniffiniedig anniffiniedig

Ffwythianau trigonometrig newidynnau real neu gymhlyg[golygu | golygu cod y dudalen]

Gan ddefnyddio uned y cylch, gellir ymestyn y diffiniadau o gymarebau trigonometrig i bob dadl gadarnhaol a negyddol[28] (gweler ffwythiannau trigonometrig).

Graffiau o ffwythianau trigonometrig[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r tabl canlynol yn crynhoi priodweddau graffiau'r chwe phrif ffwythiant trigonometrig:[29][30]

Ffwythiant Cyfnod Parth Ystod Graff
sin </img>
cosin </img>
tangiad </img>
secant </img>
cosecant </img>
cotangent </img>

Ffwythiant trigonometrig gwrthdro[golygu | golygu cod y dudalen]

Gan fod y chwe phrif ffwythiant trigonometrig yn gyfnodol, nid ydyn nhw'n ddyfeisgar (injective; neu, 1 i 1), ac felly nid ydyn nhw'n wrthdroadwy. Trwy gyfyngu parth ffwythiant trigonometrig, fodd bynnag, gellir eu gwneud yn wrthdroadwy.[31]

Gellir gweld enwau'r ffwythiannau trigonometrig gwrthdro, ynghyd â'u parthau a'u hystod, yn y tabl canlynol:[31][32]

Enw Nodiant arferol Diffiniad Parth x ar gyfer canlyniad go iawn Ystod o'r prif werth arferol
(radianau)
Ystod o'r prif werth arferol
(graddau)
arcsin y = arcsin(x ) x = sin ( y ) −1 ≤ x ≤ 1 -  ≤ y ≤  −90 ° ≤ y ≤ 90 °
arccosin y = arccos(x ) x = cos ( y ) −1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π 0 ° ≤ y ≤ 180 °
arctangent y = arctan(x ) x = tan ( y ) pob rhif real -  < y −90 ° < y <90 °
arccotangent y = arccot(x ) x = cot ( y ) pob rhif real 0 < y < π 0 ° < y <180 °
arcsecant y = arcsec(x ) x = sec ( y ) x ≤ −1 neu 1 ≤ x 0 ≤ y <  neu  < y ≤ π 0 ° ≤ y <90 ° neu 90 ° < y ≤ 180 °
arccosecant y = arccsc(x ) x = csc ( y ) x ≤ −1 neu 1 ≤ x -  ≤ y <0 neu 0 < y ≤  −90 ° ≤ y <0 ° neu 0 ° < y ≤ 90 °

Cynrychioliadau cyfresi pŵer[golygu | golygu cod y dudalen]

Pan gânt eu hystyried fel ffwythiannau newidyn real, gellir cynrychioli'r cymarebau trigonometrig gan gyfres anfeidrol. Er enghraifft, mae gan sin a chosin y cynrychioladau canlynol:[33]

Gyda'r diffiniadau hyn gellir diffinio'r swyddogaethau trigonometrig ar gyfer rhifau cymhlyg.[34] Pan gaiff ei ymestyn fel ffwythiannau newidynnau real neu gymhleth, mae'r fformiwla ganlynol yn gywir ar gyfer yr esbonyddol cymhlyg:

Mae'r ffwythiant esbonyddol gymhlyg hon, a ysgrifennwyd o ran ffwythiannau trigonometrig, yn arbennig o ddefnyddiol mewn mathemateg.[35][36]

Cyfrifo ffwythiannau trigonometrig[golygu | golygu cod y dudalen]

Roedd ffwythiannau trigonometrig ymhlith y defnyddiau cynharaf ar gyfer tablau mathemategol.[37] Ymgorfforwyd tablau o'r fath mewn gwerslyfrau mathemateg a dysgwyd myfyrwyr i edrych ar werthoedd a sut i ryngosod rhwng y gwerthoedd a restrir i gael cywirdeb uwch.[38] Roedd gan y Llithriwl raddfeydd arbennig ar gyfer ffwythiannau trigonometrig.[39]

Mae gan gyfrifianellau gwyddonol fotymau ar gyfer cyfrifo'r prif swyddogaethau trigonometrig (sin, cos, tan, ac weithiau cis a'u gwrthdroadau). Mae'r mwyafrif o gyfrifianellau'n caniatáu dewis o ddulliau mesur ongl: graddau, radianau, ac weithiau graddyddion . Mae'r mwyafrif o ieithoedd rhaglennu cyfrifiadurol yn darparu llyfrgelloedd o ffwythiannau sy'n cynnwys y ffwythiannau trigonometrig.[40][41]

Ceisiadau[golygu | golygu cod y dudalen]

Seryddiaeth[golygu | golygu cod y dudalen]

Am ganrifoedd, defnyddiwyd trigonometreg sfferig ar gyfer lleoli safleoedd yr haul, lleuad a'r ser,[42] darogan eclipsau, ac yn disgrifio taith y planedau.[43]

Yn y cyfnod modern, defnyddir y dechneg triongli (triangulation) mewn seryddiaeth i fesur y pellter i sêr cyfagos,[44] yn ogystal ag mewn systemau llywio lloeren.[10]

Fforio[golygu | golygu cod y dudalen]

Defnyddir y secstant i fesur ongl yr haul neu'r sêr mewn perthynas â'r gorwel. Gan ddefnyddio trigonometreg a chronomedr morol, gellir pennu lleoliad y llong o fesuriadau o'r fath.

Yn hanesyddol, defnyddiwyd trigonometreg ar gyfer lleoli lledred a hydred llongau hwylio, plotio cyrsiau, a chyfrifo pellteroedd wrth fordwyo.[45]

Mae trigonometreg yn dal i gael ei ddefnyddio wrth fordwyo trwy ddulliau fel y System Lleoli Byd-eang a deallusrwydd artiffisial ar gyfer cerbydau diyrrwr.[46]

Mesur tir[golygu | golygu cod y dudalen]

Wrth fesur y tir, defnyddir trigonometreg wrth gyfrifo hyd, arwynebedd ac onglau cymharol rhwng gwrthrychau.[47]

Ar raddfa fwy, defnyddir trigonometreg mewn daearyddiaeth i fesur pellteroedd rhwng tirnodau.[48]

Ffwythiannau cyfnodol[golygu | golygu cod y dudalen]

Ffwythiant (mewn coch) yw swm o chwe ffwythiant sin o wahanol argiau (neu osgledau; amplitudau) ac amleddau sy'n cysylltiedig. Gelwir eu crynhoad yn gyfres Fourier. Y trawsnewidiad Fourier, (mewn glas), sy'n darlunio osgled yn erbyn amledd, yn datgelu'r 6 amledd.

Darllen pellach[golygu | golygu cod y dudalen]

  •  
  • Linton, Christopher M. (2004). O Eudoxus i Einstein: Hanes Seryddiaeth Fathemategol . Gwasg Prifysgol Caergrawnt.
  • Weisstein, Eric W. "Trigonometric Addition Formulas". MathWorld.

Dolenni allanol[golygu | golygu cod y dudalen]

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. R. Nagel (ed.), Encyclopedia of Science, 2nd Ed., The Gale Group (2002)
  2. Charles William Hackley (1853). A treatise on trigonometry, plane and spherical: with its application to navigation and surveying, nautical and practical astronomy and geodesy, with logarithmic, trigonometrical, and nautical tables. G. P. Putnam.
  3. Ron Larson; Robert P. Hostetler (10 Mawrth 2006). Trigonometry. Cengage Learning. t. 230. ISBN 0-618-64332-X.
  4. Mary Jane Sterling (24 Chwefror 2014). Trigonometry For Dummies. John Wiley & Sons. t. 185. ISBN 978-1-118-82741-3.
  5. P.R. Halmos (1 December 2013). I Want to be a Mathematician: An Automathography. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1084-9.
  6. Pimentel, Ric; Wall, Terry (2018). Cambridge IGCSE Core Mathematics (arg. 4th). Hachette UK. t. 275. ISBN 978-1-5104-2058-8. Extract of page 275
  7. Otto Neugebauer (1975). A history of ancient mathematical astronomy. 1. Springer-Verlag. t. 744. ISBN 978-3-540-06995-9.
  8. Toomer, G. (1998), Ptolemy's Almagest, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-00260-6
  9. Gingerich, Owen. "Islamic astronomy." Scientific American 254.4 (1986): 74-83
  10. 10.0 10.1 Michael Willers (13 Chwefror 2018). Armchair Algebra: Everything You Need to Know From Integers To Equations. Book Sales. t. 37. ISBN 978-0-7858-3595-0. Gwall cyfeirio: Tag <ref> annilys; mae'r enw "Willers2018" wedi'i ddiffinio droeon gyda chynnwys gwahanol
  11. "Nasir al-Din al-Tusi". MacTutor History of Mathematics archive. Cyrchwyd 2021-01-08. One of al-Tusi's most important mathematical contributions was the creation of trigonometry as a mathematical discipline in its own right rather than as just a tool for astronomical applications. In Treatise on the quadrilateral al-Tusi gave the first extant exposition of the whole system of plane and spherical trigonometry. This work is really the first in history on trigonometry as an independent branch of pure mathematics and the first in which all six cases for a right-angled spherical triangle are set forth.
  12. "the cambridge history of science". October 2013.
  13. "trigonometry". Encyclopædia Britannica. Cyrchwyd 2008-07-21.
  14. Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. t. 518. ISBN 978-0-691-11485-9.
  15. "Johann Müller Regiomontanus". MacTutor History of Mathematics archive. Cyrchwyd 2021-01-08.
  16. N.G. Wilson (1992). From Byzantium to Italy. Greek Studies in the Italian Renaissance, London. ISBN 0-7156-2418-0
  17. Grattan-Guinness, Ivor (1997). The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. W.W. Norton. ISBN 978-0-393-32030-5.
  18. Robert E. Krebs (2004). Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Middle Ages and the Renaissance. Greenwood Publishing Group. t. 153. ISBN 978-0-313-32433-8.
  19. William Bragg Ewald (2007). From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US. p. 93. ISBN 0-19-850535-3
  20. Kelly Dempski (2002). Focus on Curves and Surfaces. p. 29. ISBN 1-59200-007-X
  21. James Stewart; Lothar Redlin; Saleem Watson (16 Ionawr 2015). Algebra and Trigonometry. Cengage Learning. t. 448. ISBN 978-1-305-53703-3.
  22. Dick Jardine; Amy Shell-Gellasch (2011). Mathematical Time Capsules: Historical Modules for the Mathematics Classroom. MAA. t. 182. ISBN 978-0-88385-984-1.
  23. Krystle Rose Forseth; Christopher Burger; Michelle Rose Gilman; Deborah J. Rumsey (2008). Pre-Calculus For Dummies. John Wiley & Sons. t. 218. ISBN 978-0-470-16984-1.
  24. Weisstein, Eric W. "SOHCAHTOA". MathWorld.
  25. A sentence more appropriate for high schools is "'Some Old Horse Came A''Hopping Through Our Alley". Foster, Jonathan K. (2008). Memory: A Very Short Introduction. Oxford. t. 128. ISBN 978-0-19-280675-8.
  26. 26.0 26.1 David Cohen; Lee B. Theodore; David Sklar (17 Gorffennaf 2009). Precalculus: A Problems-Oriented Approach, Enhanced Edition. Cengage Learning. ISBN 978-1-4390-4460-5.
  27. W. Michael Kelley (2002). The Complete Idiot's Guide to Calculus. Alpha Books. t. 45. ISBN 978-0-02-864365-6.
  28. Jenny Olive (18 Medi 2003). Maths: A Student's Survival Guide: A Self-Help Workbook for Science and Engineering Students. Cambridge University Press. t. 175. ISBN 978-0-521-01707-7.
  29. Mary P Attenborough (30 Mehefin 2003). Mathematics for Electrical Engineering and Computing. Elsevier. t. 418. ISBN 978-0-08-047340-6.
  30. Ron Larson; Bruce H. Edwards (10 Tachwedd 2008). Calculus of a Single Variable. Cengage Learning. t. 21. ISBN 978-0-547-20998-2.
  31. 31.0 31.1 Elizabeth G. Bremigan; Ralph J. Bremigan; John D. Lorch (2011). Mathematics for Secondary School Teachers. MAA. ISBN 978-0-88385-773-1. Gwall cyfeirio: Tag <ref> annilys; mae'r enw "BremiganBremigan2011" wedi'i ddiffinio droeon gyda chynnwys gwahanol
  32. Martin Brokate; Pammy Manchanda; Abul Hasan Siddiqi (3 Awst 2019). Calculus for Scientists and Engineers. Springer. ISBN 9789811384646.
  33. Serge Lang (14 Mawrth 2013). Complex Analysis. Springer. t. 63. ISBN 978-3-642-59273-7.
  34. Silvia Maria Alessio (9 December 2015). Digital Signal Processing and Spectral Analysis for Scientists: Concepts and Applications. Springer. t. 339. ISBN 978-3-319-25468-5.
  35. K. RAJA RAJESWARI; B. VISVESVARA RAO (24 Mawrth 2014). SIGNALS AND SYSTEMS. PHI Learning. t. 263. ISBN 978-81-203-4941-4.
  36. John Stillwell (23 Gorffennaf 2010). Mathematics and Its History. Springer Science & Business Media. t. 313. ISBN 978-1-4419-6053-5.
  37. Martin Campbell-Kelly; Professor Emeritus of Computer Science Martin Campbell-Kelly; Visiting Fellow Department of Computer Science Mary Croarken; Raymond Flood; Eleanor Robson (2 Hydref 2003). The History of Mathematical Tables: From Sumer to Spreadsheets. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-850841-0.
  38. George S. Donovan; Beverly Beyreuther Gimmestad (1980). Trigonometry with calculators. Prindle, Weber & Schmidt. ISBN 978-0-87150-284-1.
  39. Ross Raymond Middlemiss (1945). Instructions for Post-trig and Mannheim-trig Slide Rules. Frederick Post Company.
  40. Steven S. Skiena; Miguel A. Revilla (18 April 2006). Programming Challenges: The Programming Contest Training Manual. Springer Science & Business Media. t. 302. ISBN 978-0-387-22081-9.
  41. Intel® 64 and IA-32 Architectures Software Developer's Manual Combined Volumes: 1, 2A, 2B, 2C, 3A, 3B and 3C (PDF). Intel. 2013.
  42. Olinthus Gregory (1816). Elements of Plane and Spherical Trigonometry: With Their Applications to Heights and Distances Projections of the Sphere, Dialling, Astronomy, the Solution of Equations, and Geodesic Operations. Baldwin, Cradock, and Joy.
  43. Neugebauer, Otto (1948). "Mathematical methods in ancient astronomy". Bulletin of the American Mathematical Society 54 (11): 1013–1041. doi:10.1090/S0002-9904-1948-09089-9.
  44. Michael Seeds; Dana Backman (5 Ionawr 2009). Astronomy: The Solar System and Beyond. Cengage Learning. t. 254. ISBN 978-0-495-56203-0.
  45. John Sabine (1800). The Practical Mathematician, Containing Logarithms, Geometry, Trigonometry, Mensuration, Algebra, Navigation, Spherics and Natural Philosophy, Etc. t. 1.
  46. Mordechai Ben-Ari; Francesco Mondada (2018). Elements of Robotics. Springer. t. 16. ISBN 978-3-319-62533-1.
  47. George Roberts Perkins (1853). Plane Trigonometry and Its Application to Mensuration and Land Surveying: Accompanied with All the Necessary Logarithmic and Trigonometric Tables. D. Appleton & Company.
  48. Charles W. J. Withers; Hayden Lorimer (14 December 2015). Geographers: Biobibliographical Studies. A&C Black. t. 6. ISBN 978-1-4411-0785-5.