Rhif cymhlyg

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Gellir cynrychioli rhif cymhlyg, yn weledol, fel pâr o rifau (a, b) sy'n ffurfio fector ar ddiagram o'r enw 'diagram Argand', sy'n cynrychioli'r 'plân gymhlyg'. "Re" yw'r echelin real, "Im" yw'r echelin dychmygol, ac mae i yn bodloni i2 = −1.

Rhif cymhlyg yw'r rhif y gellir ei fynegi fel a + bi, lle mae a a b yn rhifau real, ac mae i yn ateb i'r hafaliad x2 = −1. Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwir i yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyg a + bi, gelwir a yn "rhan real", a gelwir b yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.[1][2]

Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygol i.[3] Mae hyn yn golygu y gellir ychwanegu, tynnu a lluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheol i2 = −1 wedi'i osod. At hynny, gellir rhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlyg di-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg.

Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas'; coefficients) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategydd Eidalaidd o'r 16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.[4]

Mewn geometreg, mae rhifau cymhlyg yn ymestyn y cysyniad o'r linell-rif un dimensiwn i'r plân gymhlyg dau ddimensiwn, trwy ddefnyddio'r echel lorweddol ar gyfer y rhan real a'r echelin fertigol ar gyfer y rhan ddychmygol. Gellir adnabod y rhif cymhlyg a + bi gyda'r pwynt (a, b) yn y plân gymhlyg.

Gellir dweud fod rhif cymhlyg y mae ei ran real yn sero yn rhif dychmygol llwyr; mae'r pwyntiau ar gyfer y rhifau hyn yn gorwedd ar echelin fertigol y plân gymhlyg. Mae rhif cymhlyg y mae ei ran ddychmygol yn sero yn gallu cael ei ystyried yn rhif go iawn; mae ei bwynt yn gorwedd ar echel lorweddol y plân gymhlyg. Gellir hefyd gynrychioli rhifau cymhlyg mewn ffurf pegynnol, sy'n cysylltu pob rhif cymhlyg gyda'i bellter o'r tarddiad (ei faint) a chydag ongl benodol a elwir yn "argiau (neu 'ymresymiad') y rhif cymhlyg" hwn.

Trosolwg[golygu | golygu cod y dudalen]

Ceir atebion i rai hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau cymhlyg, ond ni cheir atebion i hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau real. Er enghraifft, nid oes i'r hafaliad:

ateb real, gan na all sgwâr rhif real fod yn negatif. Mae gan rhifau cymhlyg ateb i'r broblem hon. Gellir ymestyn y rhifau real gydag "i" amhenderfynedig (indeterminate), a elwir, weithiau, yn "uned amhenderfynedig" ac a ddefnyddir i fodloni'r berthynas i2 = −1, fel bod atebion i broblemau fel hyn yn bosibl. Yn yr achos yma, yr ateb yw: −1 + 3i and −1 − 3i. Gellir dilysu hyn gan ddefnyddio'r ffaith fod i2 = −1:

Yn ôl theorem sylfaenol algebra, mae pob hafaliad polynomial a wneir hyda rhifau real neu gymhlyg gydag un newidyn, yn rhoi ateb a roddir mewn rhifau cymhlyg.

Yn grynno

Mynegir rhif cymhlyg gyda'r nodiant

lle mae a a b yn rhifau real. i yw'r uned ddychmygol, ac fe'i diffinnir fel y gwerth ar gyfer x sy'n bodloni'r hafaliadau canlynol:

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.
  2. Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (reprinted ed.). Random House. pp. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8.  tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."
  3. Nicolas Bourbaki. "VIII.1". General topology. Springer-Verlag. 
  4. Burton (1995, p. 294)