Ffwythiannau trigonometrig

Ffwythiannau sin a cos o fewn cylch unedol.

Mewn mathemateg, mae ffwythiannau trigonometrig yn ffwythiannau onglau. Defnyddir y ffwythiannau yma i gysylltu onglau triongl (triongl ongl sgwâr gan fwyaf) i hyd ymylon y triongl. Y ffwythiannau mwyaf poblogaidd yw sin, cosin a tangiad, sy'n byrhau i sin, cos a tan.

Mae gan y ffwythiannau yma nifer o ddefnyddiau yn y meysydd cyfeiriadu, peirianneg a ffiseg nid yn unig o fewn yr astudiaeth o drionglau, ond hefyd mewn modelu ffenomenâu cyfnodol.

Diffiniadau triongl ongl sgwâr

Mae gan driongl dde un ongl 90° (π/2 radianau) labelwyd yma fel C. Gall onglau A a B amrywio mewn maint.

I ddiddwytho ongl A, enwir yr ochrau fel y canlynol:

• Yr hypotenws yw'r ochor gyferbyn ar ongl sgwâr, yn yr achos yma h. Yr hypotenws yw'r ochor sydd ar hyd fwyaf.
• Yr ochor cyferbyn yw'r ochor gyferbyn i'r ongl yr ydym am ei ddarganfod. Yn yr achos yma a.
• Yr ochor cyfagos yw'r ochor sydd rhwng yr ongl yr ydym am ei ddarganfod ar ongl sgwâr. Yn yr achos yma b.

Ffwythiant	Talfyriad	Disgrifiad	Unfathiannau (yn defnyddio radiannau)
Sin	sin	${\frac {\textrm {cyferbyn}}{\textrm {hypotenws}}}$	$\sin \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}$
Cosin	cos	${\frac {\textrm {agos}}{\textrm {hypotenws}}}$	$\cos \theta \equiv \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\,$
Tangiad	tan (or tg)	${\frac {\textrm {cyferbyn}}{\textrm {agos}}}$	$\tan \theta \equiv {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}$
Cotangiad	cot (or ctg or ctn)	${\frac {\textrm {agos}}{\textrm {cyferbyn}}}$	$\cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}$
Secant	sec	${\frac {\textrm {hypotenws}}{\textrm {agos}}}$	$\sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}$
Cosecant	csc (or cosec)	${\frac {\textrm {hypotenws}}{\textrm {cyferbyn}}}$	$\csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sin \theta }}$

Unfathiannau

Mae yna nifer o unfathiannau yn bodoli sy'n cydberthyn y ffwythiannau trigonometrig. Dyma'r un a defnyddir fwya' aml.

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1,\,$

Perthnasau arall sy'n bodoli yw'r fformiwlâu swm a gwahaniaeth.

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y,\,$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y,\,$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y.\,$

Pan mae dwy ongl yn hafal, mae'r swm y fformiwlâu yn symleiddio i hafaliadau a adnabyddir fel y double-angle formulae.

Calcwlws

Mae'r tabl yma yn dangos integriadau a differiadau ffwythiannau trigonometreg.

Ffwythiant $\ \ \ \ f(x)$	Differu $\ \ \ \ f'(x)$	Integru $\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x+C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x+C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec ^{2}x=1+\tan ^{2}x$	$-\ln \left|\cos x\right|+C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc ^{2}x=-(1+\cot ^{2}x)$	$\ln \left|\sin x\right|+C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec {x}\tan {x}$	$\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc {x}\cot {x}$	$\ -\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C$

Ffwythiannau gwrthdro

Enw	Nodiant arferol	Nodiant arferol	Diffiniad	Parth x	Amrediad gwerthau (radiannau)	Amrediad gwerthau (Graddau)
arcsine	y = arcsin x	y=sin−1(x)	x = sin y	−1 ≤ x ≤ 1	−π/2 ≤ y ≤ π/2	−90° ≤ y ≤ 90°
arccosine	y = arccos x	y=cos−1(x)	x = cos y	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
arctangent	y = arctan x	y=tan−1(x)	x = tan y	pob rhif real	−π/2 < y < π/2	−90° < y < 90°
arccotangent	y = arccot x	y=cot−1(x)	x = cot y	pob rhif real	0 < y < π	0° < y < 180°
arcsecant	y = arcsec x	y=sec−1(x)	x = sec y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	0 ≤ y < π/2 or π/2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° or 90° < y ≤ 180°
arccosecant	y = arccsc x	y=csc−1(x)	x = csc y	x ≤ −1 or 1 ≤ x	−π/2 ≤ y < 0 or 0 < y ≤ π/2	−90° ≤ y < 0° or 0° < y ≤ 90°