Cymesuredd

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
'Dyn Vitruvia' gan Leonardo da Vinci (ca. 1487): darlun a ddefnyddir yn fydeang i gynrychioli siap cymesur.

Mewn iaith gyffredin cyfeiria cymesuredd at synnnwyr o gyfartaledd a chydbwysedd. Mewn mathemateg mae iddo ystyr fwy pendant, sef bod gwrthrych yn sefydlog i drawsnewidiad, megis adlewyrchiad, ond hefyd mathau eraill o drawsnewdiad.

Ceir sawl math elfennol o gymersuredd gan gynnwys cymersuredd drwy: raddfa, adlewyrchiad, cylchdro a chymesuredd ffwythiannol. Ceir mathau gwahanol o gymesuredd hefyd mewn cerddoriaeth, iaith, gwrthrychau haniaethol, modelu mathemategol theori a hyd yn oed gwybodaeth.[1] Gellir ei ganfod o fewn gwrthrychau pob dydd megis person, crisialau, cwilt ar wely, teils ar lawr, adeiladau, moleciwlau neu o fewn y byd natur ac o fewn gwrthrychau haniaethol megis fformiwlâu mathemategol.

Mae'r erthygl hon yn disgrifio cymesuredd o dri safbwynt: mewn mathemateg, gan gynnwys geometreg, y math cymesuredd mwyaf cyfarwydd i lawer o bobl; mewn gwyddoniaeth a natur; ac yn y celfyddydau, gan gwmpasu pensaernïaeth, celf a cherddoriaeth.

Y gwrthwyneb i gymesuredd yw anghymesuredd, sy'n cyfeirio at absenoldeb neu dorri cymesuredd.

Mathau gwahanol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mewn mathemateg[golygu | golygu cod y dudalen]

Mewn geometreg[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae gan y trisgell Celtaidd hwn gymesuredd cylchdro 3-gwaith.

Mae siâp neu wrthrych geometrig yn gymesur os gellir ei rannu'n ddau neu ragor o ddarnau sy'n union yr un fath ac sydd wedi eu gosod mewn dull trefnus.[2] Mae hyn yn golygu bod gwrthrych yn gymesur os oes trawsnewidiad sy'n symud darnau unigol o'r gwrthrych, ond nad yw'n newid y siâp cyffredinol.[3] Thus, a symmetry can be thought of as an immunity to change.[4] Mae'r math o gymesuredd yn cael ei bennu gan y ffordd y mae'r darnau wedi'u trefnu, neu yn ôl y math o drawsnewidiad:[5]

  • Mae gan wrthrych gymesuredd adlewyrchol (cymesuredd llinell neu ddrych) os oes llinell yn mynd trwyddo sy'n ei rhannu'n ddau ddarn lle mae'r naill yn adlewyrchiad o'r llall.[6][7]
  • Mae gan wrthrych gymesuredd cylchdro os gellir cylchdroi'r gwrthrych o amgylch pwynt sefydlog heb newid y siâp cyffredinol.[8]
  • Mae gan wrthrych gymesuredd trawsfudol (translational symmetry) os gellir trawsfudo pob pwynt o'r gwrthrych yr un pellter heb newid ei siâp cyffredinol.[9][10]
  • Mae gan wrthrych gymesuredd helical os gellir ei drawsfudo a'i gylchdroi ar yr un pryd mewn gofod tri dimensiwn ar hyd llinell a elwir yn echel sgriw.[11]
  • Mae gan wrthrych gymesuredd graddfa os nad yw'n newid siâp pan fydd yn cael ei ehangu, ei chwyddo neu ei leihau.[12] Mae ffractalau hefyd yn arddangos math o gymesuredd graddfa, lle mae rhannau llai o'r ffractal yn debyg o ran siâp i rannau mwy. [13]
  • Mae cymesureddau eraill yn cynnwys cymesuredd adlewyrchiad-llithro (adlewyrchiad wedi'i ddilyn gan trawsfudo) a chymesuredd roto-adlewyrchiad (sef cyfuniad o gylchdro ac adlewyrchiad [14] ).[15]

Mewn rhesymeg[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae perthynas dyadig R = S × S yn gymesur os, ar gyfer pob elfen a, b yn S, pryd bynnag y mae'n wir bod Rab, mae'n wir hefyd bod Rba.[16] Felly, mae'r berthynas "yr un oed â" yn gymesur, oherwydd os yw Paul yr un oed â Mair, yna mae Mair yr un oed â Paul.

Mewn rhesymeg-gynnig (propositional logic), mae cysylltedd rhesymegol deuaidd cymesur yn cynnwys ac (∧, neu &), neu (∨, neu |) ac os ac yn unig os (↔), tra nad yw'r os cysylltiol (→) yn gymesur.[17] Mae cysylltiadau rhesymegol cymesur eraill yn cynnwys nand (not-and, or ⊼), xor (not-biconditional, neu ⊻), a na (not-or, or ⊽).

Meysydd eraill mathemateg[golygu | golygu cod y dudalen]

Gan ddilyn o gymesuredd geometregol yr adran flaenorol, gellir dweud bod gwrthrych mathemategol yn gymesur o ran gweithrediad mathemategol penodol, os yw'r gweithrediad hwn, pan gaiff ei gymhwyso i'r gwrthrych, yn cadw rhywfaint o eiddo'r gwrthrych fel ag y mae.[18] Mae'r set o weithrediadau sy'n gwarchod eiddo penodol y gwrthrych yn ffurfio grŵp.

Yn gyffredinol, bydd gan bob math o strwythur mewn mathemateg ei fath ei hun o gymesuredd. Ymhlith yr enghreifftiau mae eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannnau mewn calcwlws, grwpiau cymesur mewn algebra haniaethol, matricsau cymesur mewn algebra llinol, a grwpiau Galois yn theori Galois. Mewn ystadegau, mae cymesuredd hefyd i'w gael fel symmetric probability distributions, ac fel sgiwedd - anghymesuredd dosraniadau.[19]

Mewn gwyddoniaeth a natur[golygu | golygu cod y dudalen]

Mewn ffiseg[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cymesuredd mewn ffiseg wedi'i gyffredinoli i olygu cysondeb - hynny yw, diffyg newid - o dan unrhyw fath o drawsnewidiad, er enghraifft trawsnewidiadau mympwyol cydlynu (arbitrary coordinate transformations).[20] Mae'r cysyniad hwn wedi dod yn un o offer mwyaf pwerus ffiseg ddamcaniaethol, gan ei bod wedi dod yn amlwg bod bron pob deddf natur yn tarddu o gymesuredd. Mewn gwirionedd, ysbrydolodd y rôl hon yr enillydd Nobel PW Anderson i ysgrifennu yn ei erthygl 1972, More is Different, a ddarllenwyd yn eang, "nad yw ond yn gor-ddweud yr achos i ddweud mai ffiseg yw'r astudiaeth o gymesuredd." [21] Gweler theorem Noether (sydd, ar ffurf symlach iawn, yn nodi, ar gyfer pob cymesuredd mathemategol parhaus, ceir yr un faint cyfatebol wedi'i gadw fel egni neu fomentwm; cerrynt wedi'i gadw; [22] mae dosbarthiad Wigner, hefyd yn dweud bod cymesuredd deddfau ffiseg yn pennu priodweddau'r gronynnau a geir ym myd natur.[23]

Mewn bioleg[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae llawer o anifeiliaid yn allanol yn ddrych-gymesur, er bod organau mewnol yn aml yn cael eu trefnu'n anghymesur.
Defnyddir ' Dyn Vitruvian ' Leonardo da Vinci (ca. 1487) yn aml fel cynrychiolaeth o gymesuredd yn y corff dynol a, thrwy estyniad, y bydysawd.

Mewn bioleg, defnyddir y syniad o gymesuredd yn bennaf i ddisgrifio siapiau'r corff. Mae anifeiliaid bilateria, gan gynnwys bodau dynol, yn gymesur fwy neu lai o ran yr plan sagittal sy'n rhannu'r corff yn haneri chwith a dde.[24] O reidrwydd mae gan anifeiliaid sy'n symud i un cyfeiriad ochrau uchaf ac isaf, pen a chynffon, ac felly chwith a dde. Mae'r pen wedi arbenigo gydag organau ceg a synnwyr, ac mae'r corff yn dod yn gymesur yn ddwyochrog at bwrpas symud, gyda pharau cymesur o gyhyrau ac elfennau ysgerbydol, er bod organau mewnol yn aml yn anghymesur.[25]

Yn aml mae gan blanhigion ac anifeiliaid digoes (ynghlwm) fel anemoni môr gymesuredd reiddiol neu gylchdro, sy'n addas iddyn nhw oherwydd gall bwyd neu fygythiadau gyrraedd o unrhyw gyfeiriad. Mae cymesuredd pum gwaith i'w gael yn yr echinoderms, y grŵp sy'n cynnwys sêr môr, a lili'r môr.[26]

Mewn bioleg, defnyddir y syniad o gymesuredd hefyd fel mewn ffiseg, hynny yw i ddisgrifio priodweddau'r gwrthrychau a astudiwyd, gan gynnwys sut mae nhw'n rhyngweithio. Eiddo rhyfeddol esblygiad biolegol yw'r newidiadau cymesuredd sy'n cyfateb i ymddangosiad rhannau a dynameg newydd.[27][28]

Mewn cemeg[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cymesuredd yn bwysig i gemeg oherwydd ei fod yn seilwaith i bob rhyngweithiad penodol rhwng moleciwlau y byd natur. Mae rheoli cymesuredd moleciwlau a gynhyrchir mewn synthesis cemegol modern yn cyfrannu at allu gwyddonwyr i gynnig ymyriadau therapiwtig gyda'r sgîl-effeithiau lleiaf posibl. Drwy ddealltwriaeth drylwyr o gymesuredd gellir egluro arsylwadau sylfaenol mewn cemeg cwantwm, ac ym myd sbectrosgopeg a grisialeg. Mae theori a chymhwyso cymesuredd i'r meysydd hyn o wyddor gorfforol yn tynnu'n helaeth ar faes mathemategol theori grŵp.[29]

Mewn seicoleg a niwrowyddoniaeth[golygu | golygu cod y dudalen]

I arsylwr dynol, mae rhai mathau o gymesuredd yn fwy amlwg nag eraill, yn enwedig adlewyrchiad ag echelin fertigol, fel yr un sy'n bresennol yn yr wyneb dynol. Gwnaeth Ernst Mach yr arsylwad hwn yn ei lyfr "The analysis of sensations" (1897)[30]. Mae astudiaethau o ymddygiad a niwroffisioleg wedi cadarnhau'r sensitifrwydd arbennig i gymesuredd adlewyrchu mewn pobl ac mewn anifeiliaid eraill.[31] Awgrymodd astudiaethau cynnar yn nhraddodiad Gestalt fod cymesuredd dwyochrog yn un o'r ffactorau allweddol mewn grwpio canfyddiadol. Gelwir hyn yn Gyfraith Cymesuredd. Cadarnhawyd rôl cymesuredd mewn grwpio a threfnu ffigyrau / daear mewn llawer o astudiaethau.[32] Mae astudiaethau o ganfyddiad dynol (human perception) a seicoffiseg wedi dangos bod canfod cymesuredd digwydd yn gyflym ac yn effeithlon. Er enghraifft, gellir canfod cymesuredd o fewn 100 a 150 milieiliad.[33]

Mae astudiaethau niwroddelweddu mwy diweddar wedi dogfennu pa ranbarthau'r ymennydd sy'n weithredol yn ystod canfyddiad cymesuredd. Defnyddiodd Sasaki et al.[34] i ddelweddu cyseiniant magnetig swyddogaethol (fMRI) i gymharu ymatebion ar gyfer patrymau â dotiau cymesur neu hap. Roedd gweithgaredd cryf yn bresennol mewn rhanbarthau allwthiol o'r cortecs occipital ond nid yn y cortecs gweledol cynradd. Roedd y rhanbarthau allwthiol yn cynnwys V3A, V4, V7, a'r occipital ochrol (LOC). Mae astudiaethau electroffisiolegol wedi canfod ôl-negyddoldeb hwyr sy'n tarddu o'r un ardal.[35] Yn gyffredinol, ymddengys bod rhan fawr o'r system weledol yn ymwneud â phrosesu cymesuredd gweledol, ac mae'r meysydd hyn yn cynnwys rhwydweithiau tebyg i'r rhai sy'n gyfrifol am ganfod a chydnabod gwrthrychau.[36]

Mewn rhyngweithiadau cymdeithasol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae pobl yn arsylwi natur cymesuredd, gan gynnwys cydbwysedd anghymesur yn aml, a hynny mewn amrywiaeth o gyd-destunau cymdeithasol. Mae'r rhain yn cynnwys asesiadau o ddwyochredd, empathi, cydymdeimlad, ymddiheuriad, deialog, parch, cyfiawnder a dial. Ceisir cyrraedd rhyw 'ecwilibriwm myfyriol', sy'n gydbwysedd mewnol trwy addasu dros amser. Mae rhyngweithiadau cymesur yn anfon y neges foesol "rydyn ni i gyd yr un fath" tra gall rhyngweithiadau anghymesur anfon y neges "Rwy'n arbennig; gwell na chi." Mae perthnasoedd cyfoedion, fel y gellir eu llywodraethu gan y rheol euraidd, yn seiliedig ar gymesuredd, ond mae'r cam-ddefnydd o bŵer yn seiliedig ar anghymesuredd.[37] Gellir cynnal perthnasoedd cymesur i ryw raddau trwy strategaethau syml (theori gêm) a welir mewn gemau cymesur fel <i>tit for tat</i>. [38]

Yn y celfyddydau[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae gan nenfwd mosg Lotfollah, Isfahan, Iran gymesureddau 8-gwaith.

Mewn pensaernïaeth[golygu | golygu cod y dudalen]

Wedi'i weld o'r ochr, mae gan y Taj Mahal gymesuredd dwyochrog; o'r brig (yn y cynllun), mae ganddo gymesuredd pedwarplyg.
"Adeilad Morgannwg": Adran Fywydeg, Prifysgol Caerdydd.
"Adeilad Morgannwg": Adran Fywydeg, Prifysgol Caerdydd.

Mae cymesuredd yn canfod ei ffyrdd i mewn i bensaernïaeth ar bob graddfa, o olygfeydd allanol cyffredinol adeiladau fel eglwysi cadeiriol Gothig a'r Tŷ Gwyn, trwy'r cynlluniau llawr unigol, ac i lawr i ddyluniad elfennau adeiladu unigol fel brithwaith teils neu frics. Mae adeiladau Islamaidd fel y Taj Mahal a mosg Lotfollah yn gwneud defnydd cywrain o gymesuredd yn eu strwythur ac yn eu haddurniadau.[39][40] Felly hefyd nifer o adeiladau mwyaf y 20g yng Nghaerdydd a'r Llyfrgell Genedlaethol.[41]

Ers y defnydd cynharaf o'r olwyn bwrw clai mewn crochenwaith, cynhyrchwyd i helpu i siapio llestri a photiau clai, mae cymesuredd wedi bod yn rhan annatod a chreiddiol o fewn crochenwaith. Gyda'r olwyn glai, cafwyd llestri gyda chymesuredd cylchdro llawn yn ei groestoriad, gan ganiatáu rhyddid siâp sylweddol i'r cyfeiriad fertigol.

Defnyddiodd y Tsieineaid hynafol, er enghraifft, batrymau cymesur yn eu castiau efydd mor gynnar â'r 17g CC. Roedd cychod efydd yn arddangos prif fotiff dwyochrog a dyluniad ffin wedi'i gyfieithu ailadroddus.

Dywedwyd mai dim ond penseiri gwael sy'n dibynnu ar "gynllun cymesur blociau, masau a strwythurau";[42] mae pensaernïaeth fodern, gan ddechrau gydag arddull Ryngwladol, yn dibynnu 'n hytrach ar "adenydd a chydbwysedd masau".[42]

Mewn carpedi a rygiau[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae traddodiad hir o ddefnyddio patrymau cymesuredd mewn carpedi a ryg, a hynny mewn llawer o ddiwylliannau. Defnyddiodd Indiaid Americanaidd Navajo groeslinau beiddgar a motiffau hirsgwar. Mae gan lawer o rygiau Dwyreiniol batrymau cywrain lle mae cymesuredd yn amlwg. Nid yw'n syndod bod gan rygiau hirsgwar gymesuredd petryal nodweddiadol - hynny yw, motiffau sy'n cael eu hadlewyrchu ar draws yr echelinau llorweddol a fertigol.[43][44]

Mewn cerddoriaeth[golygu | golygu cod y dudalen]

Nid yw cymesuredd wedi'i gyfyngu i'r celfyddydau gweledol. Mae ei rôl yn hanes cerddoriaeth yn cyffwrdd â sawl agwedd ar greu a gwrando ar gerddoriaeth.

Ffurf gerddorol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cymesuredd wedi cael ei ddefnyddio fel cyfyngiad ffurfiol gan lawer o gyfansoddwyr, megis y ffurf bwa (chwyddo) (ABCBA) a ddefnyddir gan Steve Reich, Béla Bartók, a James Tenney. Mewn cerddoriaeth glasurol, defnyddiodd Bach gymesuredd yn helaeth.[45]

Cyweirnod a thraw[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cymesuredd hefyd yn ystyriaeth bwysig wrth ffurfio graddfeydd a chordiau, cerddoriaeth draddodiadol neu arlliw sy'n cynnwys grwpiau anghymesur traw, fel y raddfa diatonig neu'r cordiau mwyaf. Mae cyfansoddwyr fel Alban Berg, Béla Bartók, a George Perle wedi defnyddio echelinau cymesuredd ayb.[46] Nododd George Perle, “Mae C - E, D - F♯, [ac] Eb - G, yn wahanol achosion o’r un egwyl … y math arall o hunaniaeth.… ac yn ymwneud ag echelinau cymesuredd. Mae C - E yn perthyn i deulu o ddeuadau cysylltiedig o ran cymesuredd, fel a ganlyn: " [46]

D. D♯ E. F. F♯ G. G♯
D. C♯ C. B. A♯ A. G♯

Felly yn ychwanegol at fod yn rhan o'r teulu egwyl-4, mae C-E hefyd yn rhan o'r teulu swm-4 (gyda C yn hafal i 0).[46]

+ 2 3 4 5 6 7 8
2 1 0 11 10 9 8
4 4 4 4 4 4 4

Mae cylchoedd egwyl yn gymesur ac felly heb fod yn ddiatonig.

Mae dilyniannau tonyddol cylchol yng ngweithiau cyfansoddwyr Rhamantaidd fel Gustav Mahler a Richard Wagner yn ffurfio dolen ag olyniaeth traw cylchol yng ngherddoriaeth atonaidd Modernaidd fel Bartók, Alexander Scriabin, Edgard Varèse, ac ysgol Fienna. [46][47]

Mewn celf a chrefft eraill[golygu | golygu cod y dudalen]

Gwaith cwlwm Celtaidd yn dangos cymesuredd t4
Croes Geltaidd Sant Hywyn, Aberdaron, Gwynedd
Croes Geltaidd Sant Hywyn, Aberdaron, Gwynedd

Mae cymesureddau yn ymddangos wrth ddylunio gwrthrychau o bob math. Ymhlith yr enghreifftiau mae gwaith gleiniau, dodrefn, paentiadau tywod, clymau Celtaidd, croesau Celtaidd masgiau ac offerynnau cerdd. Mae cymesureddau yn ganolog i gelf MC Escher a'r nifer o gymwysiadau brithwaith mewn ffurfiau celf a chrefft fel papur wal, gwaith teils ceramig fel mewn addurn geometrig Islamaidd, batik, ikat, carpedi, a sawl math o batrymau tecstilau a brodwaith. [48]

Defnyddir cymesuredd hefyd wrth ddylunio logos.[49] Trwy greu logo ar grid a defnyddio theori cymesuredd, gall dylunwyr drefnu eu gwaith, creu dyluniad cymesur neu anghymesur, pennu'r gofod rhwng llythrennau, penderfynu faint o le negyddol sydd ei angen yn y dyluniad, a sut i bwysleisio rhannau o'r logo i wneud iddo sefyll allan.

Mewn estheteg[golygu | golygu cod y dudalen]

  Mae'r berthynas cymesuredd ag estheteg yn gymhleth. Mae pobl yn gweld cymesuredd dwyochrog mewn wynebau yn ddeniadol, yn gorfforol;[50] mae'n nodi iechyd da a ffitrwydd genetig.[51][52] Ar y llaw arall, mae'r tueddiad i gymesuredd gormodol gael ei ystyried yn ddiflas ac yn anniddorol. Mae'n well gan bobl siapiau sydd â rhywfaint o gymesuredd, ond cyffyrddiad o gymhlethdod i'w gwneud yn ddiddorol.[53]

Mewn llenyddiaeth[golygu | golygu cod y dudalen]

Gellir gweld cymesuredd mewn sawl ffurf mewn llenyddiaeth, enghraifft syml yw'r palindrom lle mae testun byr yn darllen yr un peth ymlaen neu yn ôl. Efallai y bydd gan straeon strwythur cymesur, fel patrwm codi a chwympo Beowulf . [54]

Dolennau allanol[golygu | golygu cod y dudalen]

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Mainzer, Klaus (2005). Symmetry And Complexity: The Spirit and Beauty of Nonlinear Science. World Scientific. ISBN 981-256-192-7.
  2. E. H. Lockwood, R. H. Macmillan, Geometric Symmetry, London: Cambridge Press, 1978
  3. Martin, G. (1996). Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer. t. 28.
  4. "Symmetry | Thinking about Geometry | Underground Mathematics". undergroundmathematics.org. Cyrchwyd 2019-12-06.
  5. "Symmetry - MathBitsNotebook(Geo - CCSS Math)". mathbitsnotebook.com. Cyrchwyd 2019-12-06.
  6. Weyl, Hermann (1982) [1952]. Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02374-3.
  7. Freitag, Mark (2013). Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach. Cengage Learning. t. 721.
  8. Singer, David A. (1998). Geometry: Plane and Fancy. Springer Science & Business Media.
  9. Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). Timeless Reality. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.
  10. "Higher Dimensional Group Theory". Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2012-07-23. Cyrchwyd 2013-04-16.
  11. Bottema, O, and B. Roth, Theoretical Kinematics, Dover Publications (September 1990)
  12. Tian Yu Cao Conceptual Foundations of Quantum Field Theory Cambridge University Press p.154-155
  13. Gouyet, Jean-François (1996). Physics and fractal structures. Paris/New York: Masson Springer. ISBN 978-0-387-94153-0.
  14. "Rotoreflection Axis". TheFreeDictionary.com. Cyrchwyd 2019-11-12.
  15. Miller, Willard Jr. (1972). Symmetry Groups and Their Applications. New York: Academic Press. OCLC 589081. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2010-02-17. Cyrchwyd 2009-09-28.
  16. Josiah Royce, Ignas K. Skrupskelis (2005) The Basic Writings of Josiah Royce: Logic, loyalty, and community (Google eBook) Fordham Univ Press, p. 790
  17. Gao, Alice (2019). "Propositional Logic: Introduction and Syntax" (PDF). University of Waterloo — School of Computer Science. Cyrchwyd 2019-11-12.
  18. Christopher G. Morris (1992) Academic Press Dictionary of Science and Technology Gulf Professional Publishing
  19. Petitjean, M. (2003). "Chirality and Symmetry Measures: A Transdisciplinary Review". Entropy 5 (3): 271–312 (see section 2.9). Bibcode 2003Entrp...5..271P. doi:10.3390/e5030271.
  20. Costa, Giovanni; Fogli, Gianluigi (2012). Symmetries and Group Theory in Particle Physics: An Introduction to Space-Time and Internal Symmetries. Springer Science & Business Media. t. 112.
  21. Anderson, P.W. (1972). "More is Different". Science 177 (4047): 393–396. Bibcode 1972Sci...177..393A. doi:10.1126/science.177.4047.393. PMID 17796623. http://robotics.cs.tamu.edu/dshell/cs689/papers/anderson72more_is_different.pdf.
  22. Kosmann-Schwarzbach, Yvette (2010). The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-87867-6.
  23. Wigner, E. P. (1939), "On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group", Annals of Mathematics 40 (1): 149–204, Bibcode 1939AnMat..40..149W, doi:10.2307/1968551, JSTOR 1968551, MR 1503456
  24. Valentine, James W. "Bilateria". AccessScience. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 18 January 2008. Cyrchwyd 29 May 2013.
  25. Hickman, Cleveland P.; Roberts, Larry S.; Larson, Allan (2002). "Animal Diversity (Third Edition)" (PDF). Chapter 8: Acoelomate Bilateral Animals. McGraw-Hill. t. 139. Cyrchwyd October 25, 2012.
  26. Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson. tt. 64–65.
  27. Longo, Giuseppe; Montévil, Maël (2016). Perspectives on Organisms: Biological time, Symmetries and Singularities (yn Saesneg). Springer. ISBN 978-3-662-51229-6.
  28. Montévil, Maël; Mossio, Matteo; Pocheville, Arnaud; Longo, Giuseppe (2016). "Theoretical principles for biology: Variation". Progress in Biophysics and Molecular Biology. From the Century of the Genome to the Century of the Organism: New Theoretical Approaches 122 (1): 36–50. doi:10.1016/j.pbiomolbio.2016.08.005. PMID 27530930. https://www.academia.edu/27942089.
  29. Lowe, John P; Peterson, Kirk (2005). Quantum Chemistry (arg. Third). Academic Press. ISBN 0-12-457551-X.
  30. Mach, Ernst (1897). Symmetries and Group Theory in Particle Physics: An Introduction to Space-Time and Internal Symmetries. Open Court Publishing House.
  31. Wagemans, J. (1997). "Characteristics and models of human symmetry detection". Trends in Cognitive Sciences 1 (9): 346–352. doi:10.1016/S1364-6613(97)01105-4. PMID 21223945. https://lirias.kuleuven.be/handle/123456789/207060.
  32. Bertamini, M. (2010). "Sensitivity to reflection and translation is modulated by objectness". Perception 39 (1): 27–40. doi:10.1068/p6393. PMID 20301844.
  33. Barlow, H.B.; Reeves, B.C. (1979). "The versatility and absolute efficiency of detecting mirror symmetry in random dot displays". Vision Research 19 (7): 783–793. doi:10.1016/0042-6989(79)90154-8. PMID 483597.
  34. Sasaki, Y.; Vanduffel, W.; Knutsen, T.; Tyler, C.W.; Tootell, R. (2005). "Symmetry activates extrastriate visual cortex in human and nonhuman primates". Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA 102 (8): 3159–3163. Bibcode 2005PNAS..102.3159S. doi:10.1073/pnas.0500319102. PMC 549500. PMID 15710884. http://www.pubmedcentral.nih.gov/articlerender.fcgi?tool=pmcentrez&artid=549500.
  35. Makin, A.D.J.; Rampone, G.; Pecchinenda, A.; Bertamini, M. (2013). "Electrophysiological responses to visuospatial regularity". Psychophysiology 50 (10): 1045–1055. doi:10.1111/psyp.12082. PMID 23941638. https://archive.org/details/sim_psychophysiology_2013-10_50_10/page/1045.
  36. Bertamini, M.; Silvanto, J.; Norcia, A.M.; Makin, A.D.J.; Wagemans, J. (2018). "The neural basis of visual symmetry and its role in middle and high-level visual processing". Annals of the New York Academy of Sciences 132 (1): 280–293. Bibcode 2018NYASA1426..111B. doi:10.1111/nyas.13667. PMID 29604083.
  37. Emotional Competency: Symmetry
  38. Lutus, P. (2008). "The Symmetry Principle". Cyrchwyd 28 September 2015.
  39. Williams: Symmetry in Architecture. Members.tripod.com (1998-12-31). Retrieved on 2013-04-16.
  40. Aslaksen: Mathematics in Art and Architecture. Math.nus.edu.sg. Retrieved on 2013-04-16.
  41. Derry, Gregory N. (2002). What Science Is and How It Works. Princeton University Press. tt. 269–. ISBN 978-1-4008-2311-6.
  42. 42.0 42.1 Dunlap, David W. (31 July 2009). "Behind the Scenes: Edgar Martins Speaks". New York Times. Cyrchwyd 11 November 2014. “My starting point for this construction was a simple statement which I once read (and which does not necessarily reflect my personal views): ‘Only a bad architect relies on symmetry; instead of symmetrical layout of blocks, masses and structures, Modernist architecture relies on wings and balance of masses.’
  43. Marla Mallett Textiles & Tribal Oriental Rugs. The Metropolitan Museum of Art, New York.
  44. Dilucchio: Navajo Rugs. Navajocentral.org (2003-10-26). Retrieved on 2013-04-16.
  45. see ("Fugue No. 21," pdf or Shockwave)
  46. 46.0 46.1 46.2 46.3 Perle, George (1992). "Symmetry, the twelve-tone scale, and tonality". Contemporary Music Review 6 (2): 81–96. doi:10.1080/07494469200640151.
  47. Perle, George (1990). The Listening Composer. University of California Press. t. 21. ISBN 978-0-520-06991-6.
  48. Cucker, Felipe (2013). Manifold Mirrors: The Crossing Paths of the Arts and Mathematics. Cambridge University Press. tt. 77–78, 83, 89, 103. ISBN 978-0-521-72876-8.
  49. "How to Design a Perfect Logo with Grid and Symmetry".
  50. Grammer, K.; Thornhill, R. (1994). "Human (Homo sapiens) facial attractiveness and sexual selection: the role of symmetry and averageness". Journal of Comparative Psychology (Washington, D.C.) 108 (3): 233–42. doi:10.1037/0735-7036.108.3.233. PMID 7924253. https://archive.org/details/sim_journal-of-comparative-psychology_1994-09_108_3/page/233.
  51. Rhodes, Gillian; Zebrowitz, Leslie, A. (2002). Facial Attractiveness - Evolutionary, Cognitive, and Social Perspectives. Ablex. ISBN 1-56750-636-4.
  52. Jones, B. C., Little, A. C., Tiddeman, B. P., Burt, D. M., & Perrett, D. I. (2001). Facial symmetry and judgements of apparent health Support for a “‘ good genes ’” explanation of the attractiveness – symmetry relationship, 22, 417–429.
  53. Arnheim, Rudolf (1969). Visual Thinking. University of California Press.
  54. Jenny Lea Bowman (2009). "Symmetrical Aesthetics of Beowulf". University of Tennessee, Knoxville.