Pi

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio
Pi
Pan fo diamedr cylch yn 1, ei gylchedd yw π

Mae'r cysonyn mathemategol π (a sillafir hefyd fel pi) yn rhif real, anghymarebol sydd yn fras yn hafal i 3.141592654 (i 9 lle degol) ac a gafodd ei enwi gan William Jones, mathemategydd o Gymru. Hwn yw'r gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr yn ôl geometreg Euclidaidd. Mae gan π nifer o ddefnyddiau mewn Mathemateg, Ffiseg a Pheirianneg. Enwau arall am π yw Cysonyn Archimedes a Rhif Ludolph.

π fel llythyren[golygu]

Enw'r lythyren Roegaidd π yw pi. Defnyddir y sillafiad yma mewn cyd-destun cysodol pan nad oes modd defnyddio'r lythyren Roegaidd neu pan fydd y defnydd o'r symbol yn achosi dryswch.

Diffiniad[golygu]

Mewn geometreg Ewclidaidd, diffinir π fel y gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr, neu fel cymhareb arwynebedd cylch i arwynebedd sgwâr ag ochrau sy'n hafal i radiws y cylch. Gellir diffinio'r cysonyn π mewn ffyrdd eraill hefyd.

Gwerth Rhifiadol[golygu]

Gwerth π wedi ei flaendorri i 50 lle degol yw:

3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Mae cyfrifiaduron pwerus wedi cyfrifo gwerth rhifiadol π i driliwn o lefydd degol ond nid oes unrhyw batrwm syml o ddigidau wedi ei ddarganfod. Er bod modd cyfrifo π i filiynau o lefydd degol gan ddefnyddio cyfrifiaduron, dylid nodi fod gwerth wedi'i flaendorri i 39 lle degol yn ddigon cywir i gyfrifo cylchedd y bydysawd ac o fewn maint atom hydrogen o'r gwerth cywir. Pur anaml mae angen defnyddio mwy na 4 lle degol mewn gwaith gwyddonol neu ymarferol.

Priodweddau[golygu]

Mae π yn rhif anghymarebol (a hefyd yn rhif trosgynnol), ac felly mae gwerth union π yn ehangiad degol anfeidraidd, h.y. nid yw ehangiad degol π yn gorffen neu ailadrodd. Profwyd ei fod yn anghymarebol ym 1761 gan Johann Heinrich Lambert, a'i fod yn drosgynnol gan Ferdinand von Lindemann ym 1882. Dengys y ffaith fod π yn anghymarebol fod sgwario'r cylch yn amhosib.

Cyfrifo π[golygu]

Gellir mesur π yn empeiraidd trwy lunio cylch mawr, mesur ei ddiamedr a'i gylchedd, a chyfrifo'r gymhareb. Yn ogystal, gellir cyfrifo π gan ddefnyddio dulliau mathemategol yn unig.

Dyma fformwla Leibniz:

 \pi = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots

Er bod y gyfres uchod yn un hawdd i'w hysgrifennu a'i chyfrifo, ond nid yw'n amlwg pam ei bod yn cydgyfeirio i π. Yn wir, mae'r cydgyfeirio mor araf fod 300 term yn annigonol i gyfrifo gwerth π i 2 le degol!

Ceir dull mwy greddfol trwy ddychmygu cylch â radiws r a'i ganol ar y tardd. Yna, fe fydd unrhyw bwynt (x,y) sydd â phellter d o'r tardd, a d yn llai nag r, o fewn y cylch. Gan ddefnyddio theorem Pythagoras:

 d = \sqrt{x^2 + y^2}

Wedi canfod casgliad o bwyntiau o fewn y cylch, gellir amcangyfrifo A, arwynebedd y cylch. Gan mai π wedi lluosi â'r radiws sgwâr yw arwynebedd y cylch, gellir amcangyfrifo:

 \pi = \frac{A}{r^2}

Hanes[golygu]

Defnydd o'r symbol π[golygu]

Enwyd y cysonyn yn "π" oherwydd π yw llythyren gyntaf y geiriau Groegaidd am berimedr (περίμετρος) ac amgant (περιφέρεια). Hyd a wyddys, William Jones, mathemategydd o Gymro, oedd y cyntaf i wneud hynny yn ei lyfr A New Introduction to Mathematics ym 1706. Daeth y nodiant hwn yn boblogaidd wedi i Leonhard Euler cychwyn ei ddefnyddio ym 1737.