Polynomial

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

Mewn mathemateg, mae polynomial yn fynegiant lle mae cysonion a newidynnau yn cael eu cyfuno trwy adio, tynnu, a lluosi yn unig. Felly, mae

 2 x^2 y z^3 - 3 y^2 + 5 y z - 2 \,

yn bolynomial, ond nid yw

 {1 \over x^2 + 1} \,

yn bolynomial.

Mae ffwythiant polynomaidd yn ffwythiant a ddiffinir trwy werthuso polynomial. Mae ffwythiannau polynomaidd yn ddosbarth pwysig o ffwythiannau esmwyth (hynny yw, ffwythiannau y gallem eu differu unrhyw nifer o weithiau).

Oherwydd eu strwythr syml, mae'n hawdd gwerthuso polynomialau, ac fe'u defnyddir yn aml i ddadansoddi'n rhifyddol wrth astudio ffwythiannau mwy cymhleth.

Polynomialau Algebreaidd haniaethol[golygu]

Mewn algebra haniaethol, rhaid gwahaniaethu'n ofalus rhwng polynomialau a ffwythiannau polynomaidd. Diffinir polynomial f fel mynegiant ffurfiol ar ffurf

f = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \cdots + a_1 X + a_0

lle mae'r cyfernodau a0, ..., an yn elfennau o ryw fodrwy R, ac ystyrir X yn symbol ffurfiol. Mae dau bolynomial yn hafal os, a dim ond os, yw dilyniannau eu cyfernodau yn hafal. Gellir adio polynomialau, trwy adio'r cyfernodau cyfatebol yn R, a'u lluosi trwy ddefnyddio'r rheol dosraniadol a'r diffiniadau


 X \; a = a \; X
  ar gyfer pob elfen a o'r fodrwy R

 X^k \; X^l = X^{k+l}
  ar gyfer rhifau naturiol k ac l.

Gellir gwirio fod y set o bolynomialau a chanddynt gyfernodau yn y fodrwy R yn fodrwy ei hunan, sef y fodrwy o bolynomialau dros R, a ysgrifennir R[X]. Os yw R yn gymudol, yna mae R[X] yn algebra dros R.

Gallwn ystyried fod R[X] yn deillio o R trwy ychwanegu elfen X i R a'r unig amod ar X yw ei fod yn cymudo â phob elfen o R. Er mwyn i R[X] ffurfio modrwy, rhaid cynnwys hefyd pob sỳm o bwerau o X. Mae ffurfio'r fodrwy bolynomaidd, ynghyd â ffurfio modrwyon cymhareb trwy ffactorio'r idealau allan, yn arfau pwysig at ffurfio modrwyon newydd.

I bob polynomial f yn R[X], gellir diffinio ffwythiant polynomaidd sydd â pharth ac amrediad R. Canfyddir allbwn y ffwythiant ar gyfer mewnbwn r trwy roi r yn lle X yn y mynegiant f. Mae'n rhaid i algebryddion wahaniaethu rhwng polynomialau a ffwythiannau polynomaidd, oherwydd bod dau wahanol bolynomial yn gallu ennyn ar yr un ffwythiant (er enghraifft, os yw'r polynomialau dros gorff meidraidd). Nid yw hyn yn wir am y rhifau real neu gymhlyg, felly yn aml nid yw dadansoddwyr yn gwahaniaethu rhwng y ddau gysyniad.