Rhif cymhlyg

Rhif cymhlyg yw'r rhif y gellir ei fynegi fel $a + bi$ , lle mae $a$ a $b$ yn rhifau real, ac mae $i$ yn ateb i'r hafaliad $x 2 = -1$ . Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwir $i$ yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyg $a + bi$ , gelwir $a$ yn "rhan real", a gelwir $b$ yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.^[1]^[2]

Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygol $i$ .^[3] Mae hyn yn golygu y gellir ychwanegu, tynnu a lluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheol $i 2 = -1$ wedi'i osod. At hynny, gellir rhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlyg di-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg.

Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas'; coefficients) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategydd Eidalaidd o'r 16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.^[4]

Mewn geometreg, mae rhifau cymhlyg yn ymestyn y cysyniad o'r linell-rif un dimensiwn i'r plân gymhlyg dau ddimensiwn, trwy ddefnyddio'r echel lorweddol ar gyfer y rhan real a'r echelin fertigol ar gyfer y rhan ddychmygol. Gellir adnabod y rhif cymhlyg $a + bi$ gyda'r pwynt $(a, b)$ yn y plân gymhlyg.

Gellir dweud fod rhif cymhlyg y mae ei ran real yn sero yn rhif dychmygol llwyr; mae'r pwyntiau ar gyfer y rhifau hyn yn gorwedd ar echelin fertigol y plân gymhlyg. Mae rhif cymhlyg y mae ei ran ddychmygol yn sero yn gallu cael ei ystyried yn rhif go iawn; mae ei bwynt yn gorwedd ar echel lorweddol y plân gymhlyg. Gellir hefyd gynrychioli rhifau cymhlyg mewn ffurf pegynnol, sy'n cysylltu pob rhif cymhlyg gyda'i bellter o'r tarddiad (ei faint) a chydag ongl benodol a elwir yn "argiau (neu 'ymresymiad') y rhif cymhlyg" hwn.

Fel hyn, diffinnir rhif cymhlyg fel polynomial gyda chyfernodau go-iawn yn yr un amhenodol $i$ , lle mae ei berthynas $i 2 + 1 = 0$ ar ei gyfer. Yn seiliedig ar y diffiniad hwn, gellir adio a lluosi rhifau cymhlyg, gan ddefnyddio'r adio a'r lluosi ar gyfer polynomialiaid. Mae'r berthynas $i 2 + 1 = 0$ yn cymell y cydraddoldebau i $i 4 k = 1, i 4 k +1 = i, i 4 k +2 = -1,$ ac $i 4 k +3 = - i,$ sy'n dal yr holl gyfanrifau $k$ ; mae'r rhain yn caniatáu lleihau unrhyw polynomial sy'n deillio o adio a lluosi rhifau cymhlyg i bolynomial llinol yn $i$ , ac eto o'r ffurf $a + bi$ gyda chyfernodau go-iawn $a, b.$

Trosolwg

Ceir atebion i rai hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau cymhlyg, ond ni cheir atebion i hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau real. Er enghraifft, nid oes i'r hafaliad:

(x+1)^{2}=-9

ateb real, gan na all sgwâr rhif real fod yn negatif. Mae gan rhifau cymhlyg ateb i'r broblem hon. Gellir ymestyn y rhifau real gydag " $i$ " amhenderfynedig (indeterminate), a elwir, weithiau, yn "uned amhenderfynedig" ac a ddefnyddir i fodloni'r berthynas $i 2 = -1$ , fel bod atebion i broblemau fel hyn yn bosibl. Yn yr achos yma, yr ateb yw: $-1 + 3 i$ and $-1 - 3 i$ . Gellir dilysu hyn gan ddefnyddio'r ffaith fod $i 2 = -1$ :

((-1+3i)+1)^{2}=(3i)^{2}=(3^{2})(i^{2})=9(-1)=-9,

((-1-3i)+1)^{2}=(-3i)^{2}=(-3)^{2}(i^{2})=9(-1)=-9.

Yn ôl theorem sylfaenol algebra, mae pob hafaliad polynomial a wneir hyda rhifau real neu gymhlyg gydag un newidyn, yn rhoi ateb a roddir mewn rhifau cymhlyg.

Yn grynno

Mynegir rhif cymhlyg gyda'r nodiant

a+bi\

lle mae a a b yn rhifau real. i yw'r uned ddychmygol, ac fe'i diffinnir fel y gwerth ar gyfer x sy'n bodloni'r hafaliadau canlynol:

x^{2}+1=0\,

x^{2}=-1\,

x={\sqrt {-1}}\,

Diffiniad

Rhif cymhlyg yw nifer o'r ffurf $a + bi$ lle mae $a$ a $b$ yn rhifau real, ac $i$ yn amhenodol sy'n bodloni $i 2 = -1$ . Er enghraifft, mae $2 + 3 i$ yn rhif cymhlyg.^[5] ^[6]

Gelwir y rhif real yn y rhan real o'r nifer cymhlyg $a + bi$ ; a gelwir y rhif real $b$ yn rhan ddychmygol. I bwysleisio nad oes gan y rhan ddychmygol ffactor $i$ ; hynny yw, y rhan ddychmygol yw $b$ , ac nid $bi$ .^[7]^[8]^[6]

Nodiant

Gellir ystyried rhif real $a$ fel rhif cymhlyg $a + 0 i$ , lle mae ei ran ddychmygol yn 0. Mae'r rhif dychmygol $bi$ yn rhif cymhlyg $0 + bi$ , lle mae eu rhan real yn sero. Yn yr un modd â pholynomialiaid, mae'n arferol ysgrifennu $a$ gyfer $a + 0 i$ a $bi$ gyfer $0 + bi$ . Ar ben hynny, pan fo'r rhan ddychmygol yn negyddol, hynny yw, $b = - |b| < 0$ , ysgrifennir $a - |b|i$ yn lle $a + (- |b|) i$ ; er enghraifft, ar gyfer $b = -4$ , gellir ysgrifennu $3 - 4 i$ yn hytrach na $3 + (-4) i$ .

Dynodir rhan go iawn rhif cymhlyg $z$ gyda $Re(z)$ , ${\mathcal {Re}}(z)$ , neu ${\mathfrak {R}}(z)$ ; dynodir rhan ddychmygol rhif cymhleth $z$ gyda $Im(z)$ , ${\mathcal {Im}}(z)$ , neu ${\mathfrak {I}}(z).$ Er enghraifft: $\operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.$ Dynodir y set o'r holl rifau cymhlyg gan $\mathbb {C}$ (testun trwm bwrdd du ) neu $C$ (testun trwm unionsyth). Mewn rhai disgyblaethau, yn enwedig ym maes electromagnetiaeth a pheirianneg drydanol, defnyddir $j$ yn lle $i$ gan fod $i$ yn cael ei ddefnyddio'n aml i gynrychioli cerrynt trydan.^[9] Yn yr achosion hyn, ysgrifennir y rhifau cymhlyg fel $a + bj$ , neu . $a + jb$

Delweddu

Felly gellir nodi rhif cymhlyg z gyda phâr trefnus $(\Re (z),\Im (z))$ o rifau real, y gellir yn eu tro eu dehongli fel cyfesurynnau pwynt mewn gofod dau ddimensiwn. Y gofod mwyaf uniongyrchol yw'r plân Ewclidaidd gyda chyfesurynnau addas, a elwir wedyn yn blân cymhlyg neu ddiagram Argand,^[10]^[11] a enwir ar ôl Jean-Robert Argand. Gofod amlwg arall y gellir rhagamcanu'r cyfesurynnau arno yw arwyneb dau ddimensiwn sffêr, a elwir wedyn yn sffêr Riemann.

Plân cymhlyg pegynol

Dewis arall ar gyfer cyfesurynnau yn y plân cymhlyg yw'r system gyfesurynnau pegynol sy'n defnyddio pellter y pwynt $z$ o'r tarddiad ( $O$ ), a'r ongl wedi'i hymestyn rhwng yr echel real gpositif a'r segment llinell $Oz$ mewn ystyr gwrthglocwedd. Mae hyn yn arwain at ffurf begynol rhifau cymhlyg.

Gwerth absoliwt (neu fodwlws neu faint) rhif cymhlyg $z = x + yi$ yw^[12] $r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.$ Os yw $z$ yn rhif real (hynny yw, os $y = 0$ ), yna $r = | x |$ . Hynny yw, mae gwerth absoliwt rhif real yn hafal i'w werth absoliwt fel rhif cymhlyg.

Yn ôl theorem Pythagoras, gwerth absoliwt rhif cymhlyg yw'r pellter i darddiad y pwynt sy'n cynrychioli'r rhif cymhlyg yn y plân cymhlyg.

Cyfeiriadau

↑ Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.
↑ Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8. tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."
↑ Nicolas Bourbaki (1988). "VIII.1". General topology. Springer-Verlag.
↑ Burton (1995, p. 294)
↑ Axler, Sheldon (2010). College algebra. Wiley. t. 262. ISBN 9780470470770.
↑ ^6.0 ^6.1 "Complex Numbers". www.mathsisfun.com. Cyrchwyd 2020-08-12.
↑ Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Schiller, J.J.; Spellman, D. (14 April 2009). Complex Variables. Schaum's Outline Series (arg. 2nd). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.
↑ Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). "Chapter P". College Algebra and Trigonometry (arg. 6). Cengage Learning. t. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
↑ Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (arg. 6th). New York: McGraw-Hill. t. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. In electrical engineering, the letter j is used instead of i.
↑ Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
↑ Weisstein, Eric W. "Complex Number". mathworld.wolfram.com. Cyrchwyd 2020-08-12.
↑ See (Apostol 1981), page 18.

[1] Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", Elements of the history of mathematics, Springer, pp. 18–24.

[2] Penrose, Roger (2016). The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8. tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."

[3] Nicolas Bourbaki (1988). "VIII.1". General topology. Springer-Verlag.

[4] Burton (1995, p. 294)

[5] Axler, Sheldon (2010). College algebra. Wiley. t. 262. ISBN 9780470470770.

[:1-6] 6.0 ^6.1 "Complex Numbers". www.mathsisfun.com. Cyrchwyd 2020-08-12.

[7] Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Schiller, J.J.; Spellman, D. (14 April 2009). Complex Variables. Schaum's Outline Series (arg. 2nd). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.

[8] Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). "Chapter P". College Algebra and Trigonometry (arg. 6). Cengage Learning. t. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.

[9] Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). Complex variables and applications (arg. 6th). New York: McGraw-Hill. t. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. In electrical engineering, the letter j is used instead of i.

[10] Pedoe, Dan (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.

[:2-11] Weisstein, Eric W. "Complex Number". mathworld.wolfram.com. Cyrchwyd 2020-08-12.

[12] See (Apostol 1981), page 18.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]