System cyfesurynnau

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw system cyfesurynnau. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.

Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.


Cyfesurynnau Cartesaidd[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system iawnonglog (orthogonal) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau.[1].

Un dimensiwn[golygu | golygu cod y dudalen]

Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tardd yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.

Y linell rifau real


Sawl dimensiwn[golygu | golygu cod y dudalen]

Engraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Gartesaidd. Diffinir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.

  • Mewn dau ddimensiwn (plân 2D), diffinir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
  • Mewn tri ddimensiwn (gofod 3D) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
  • Yn gyffredinol, mewn gofod Ewclidaidd N dimensiwn mae N echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan .

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn N dimensiwn.

Cyfesurynnau Cartesaidd 2D
Cyfesurynnau Cartesaidd 3D


Systemau llaw dde[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio system llaw dde, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D[2]. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

Cyfesurynnau pegynol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn begwn. Estynir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan (am radiws), a'r ongl gan naill ai , neu : cyfesurynnau pegynol felly yw . Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

Dau bwynt pegynnol


Yn y deiagram, O yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy OL yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

am bob rhif cyfan . Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i a'r ongl i'r ystod gradd neu radian.

Cyfesurynnau silindraidd[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinir pwynt gan dri cyfesuryn , sef

  • y pellter neu ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
  • yr ongl asimwth neu (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynwys yr echelin begynol)
  • yr uchder o blân yr echelin begynol


Cyfesurynnau Silindraidd


Yn y deiagram, O yw'r tardd, a'r linell drwy OA yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy OL

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i a'r ongl i'r ystod gradd neu radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae yn yr ystod .

Cyfesurynnau sfferigol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinir pwynt gan dri cyfesuryn , sef:

  • y pellter neu o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
  • yr ongl asimwth , debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
  • yr ongl begynol , a fesurir o'r echelin begynol.

(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan a'r ongl begynol gan . Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

Pwynt mewn cyfesurynnau sfferigol


Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau yn diffinio cylch nawnlin (meridian); mae yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

Trawsnewidiadau ymysg systemau[golygu | golygu cod y dudalen]

Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)

  • mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
  • mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,

drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

Ymysg systemau petryalog[golygu | golygu cod y dudalen]

Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau fectorau uned sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau X, Y a Z gan .

Yna mae'r fector

yn y sytem yma.

Gelwir y triawd yn sylfaen (basis) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini [3].

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o drawsnewidiad affiniol (affine transform) [4]. Y trawsnewidiadau yw:

  • trawsfudiad, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y
mewn dau ddimensiwn,
  • cylchdroad, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy yn dilyn
  • newid graddfa yng ngyfeiriadau X ac Y


Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud o system i system . Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.

  • symud o dardd i dardd cyffredin:
  • newid graddfa fel y ddangoswyd uchod, gyda
ar y ddau echelin
  • cylchdroad drwy'r ongl rhwng echelin X system ac echelin X system , fel y ddangoswyd uchod
  • symud o'r tardd cyffredin i dardd :

Ceir y matrics terfynnol drwy lluosi y rhain:

Rhwng systemau gwahanol[golygu | golygu cod y dudalen]

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.

System Petryalog Pegynol
Pegynol

[5]

Silindraidd

[6]

Sfferigol

[7]

Gweler hefyd[golygu | golygu cod y dudalen]

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Morris, A.O (1982). Linear Algebra an introduction (2il ed.). Chapman & Hall. p. 63-66. ISBN 0412381001. 
  2. Weisstein, Eric W. "Right-Handed Coordinate System.". http://mathworld.wolfram.com/Right-HandedCoordinateSystem.html. Adalwyd 5 Awst 2013.
  3. Morris, A.O (1982). Linear Algebra an introduction (2il ed.). Chapman & Hall. p. 91-106. ISBN 0412381001. 
  4. Weisstein, Eric W. "Affine Transformation". http://mathworld.wolfram.com/AffineTransformation.html. Adalwyd 8 Awst 2013.
  5. Weisstein, Eric W. "Polar Coordinates.". http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html. Adalwyd 5 Awst 2013.
  6. Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates.". http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html. Adalwyd 5 Awst 2013.
  7. Weisstein, Eric W. "Spherical Coordinates.". http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html. Adalwyd 5 Awst 2013.