System cyfesurynnau

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw system cyfesurynnau. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.

Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.


Cyfesurynnau Cartesaidd[golygu]

Mae cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system iawnonglog (orthogonal) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau.[1].

Un dimensiwn[golygu]

Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tardd yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.

Y linell rifau real


Sawl dimensiwn[golygu]

Engraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Gartesaidd. Diffinir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.

  • Mewn dau ddimensiwn (plân 2D), diffinir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
  • Mewn tri ddimensiwn (gofod 3D) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
  • Yn gyffredinol, mewn gofod Ewclidaidd N dimensiwn mae N echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt P yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan \mathbb{R}.

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn N dimensiwn.

Cyfesurynnau Cartesaidd 2D
Cyfesurynnau Cartesaidd 3D


Systemau llaw dde[golygu]

Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio system llaw dde, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D[2]. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

Cyfesurynnau pegynol[golygu]

Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn begwn. Estynir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt P drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan r (am radiws), a'r ongl gan naill ai \theta, \phi neu t: cyfesurynnau pegynol P felly yw (r, \, \theta). Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

Dau bwynt pegynnol


Yn y deiagram, O yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy OL yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

P =(r, \theta) \, = \, (r, \theta \pm 2n\pi) \, = \, (-r, \theta \pm (2n+1) \pi )

am bob rhif cyfan n. Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i r \ge 0 a'r ongl i'r ystod [0, 360) gradd neu [-\pi, \pi) radian.

Cyfesurynnau silindraidd[golygu]

Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinir pwynt gan dri cyfesuryn (r, \theta, z), sef

  • y pellter r neu \rho ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
  • yr ongl asimwth \theta neu \phi (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynwys yr echelin begynol)
  • yr uchder z o blân yr echelin begynol


Cyfesurynnau Silindraidd


Yn y deiagram, O yw'r tardd, a'r linell drwy OA yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy OL

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i r \ge 0 a'r ongl i'r ystod [0, 360) gradd neu [-\pi, \pi) radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae z yn yr ystod (-\infty,  +\infty).

Cyfesurynnau sfferigol[golygu]

Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinir pwynt gan dri cyfesuryn (r, \theta,\phi), sef:

  • y pellter r neu \rho o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
  • yr ongl asimwth \theta, debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
  • yr ongl begynol \phi, a fesurir o'r echelin begynol.

(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan \phi a'r ongl begynol gan \theta. Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

Pwynt mewn cyfesurynnau sfferigol


Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau \theta = 0, \, r = a yn diffinio cylch nawnlin (meridian); mae \phi = \tfrac{\pi}{2}, \, r=a yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

Trawsnewidiadau ymysg systemau[golygu]

Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)

  • mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
  • mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,

drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

Ymysg systemau petryalog[golygu]

Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt P=(x,y,z) yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau fectorau uned sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau X, Y a Z gan \mathbf{i}, \, \mathbf{j}, \, \mathbf{k}.

Yna mae'r fector

\mathbf{p} = x \mathbf{i} + y \mathbf{j} + z \mathbf{k}

yn y sytem yma.

Gelwir y triawd \{\mathbf{i}, \, \mathbf{j}, \, \mathbf{k}\} yn sylfaen (basis) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini [3].

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o drawsnewidiad affiniol (affine transform) [4]. Y trawsnewidiadau yw:

  • trawsfudiad, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y
mewn dau ddimensiwn, 
\begin{pmatrix}
 x\\
 y
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
 x + t_x \\
y + t_y
\end{pmatrix}
  • cylchdroad, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy \theta yn dilyn

\begin{pmatrix}
 x\\
 y
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
 x \cos \theta - y \sin \theta \\
y \sin \theta + x \cos \theta 
\end{pmatrix}
  • newid graddfa yng ngyfeiriadau X ac Y

\begin{pmatrix}
 x\\
 y
\end{pmatrix}
\to
\begin{pmatrix}
 x s_x \\
y s_y
\end{pmatrix}


Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud o system A i system B. Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.

  • symud o dardd A = (x_a, y_a) i dardd cyffredin:
T_A =
\begin{pmatrix}
 1 && 0 && -x_a\\ 0 && 1 && -y_b\\ 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}
  • newid graddfa S fel y ddangoswyd uchod, gyda
s_i = \frac {\text{uned yn system }B}{\text {uned yn system }A} ar y ddau echelin
  • cylchdroad R drwy'r ongl rhwng echelin X system A ac echelin X system B, fel y ddangoswyd uchod
  • symud o'r tardd cyffredin i dardd B = (x_b, y_b):
T_B =
\begin{pmatrix}
 1 && 0 && x_b\\ 0 && 1 && y_b\\ 0 && 0 && 1
\end{pmatrix}

Ceir y matrics terfynnol drwy lluosi y rhain:

M_{AB} = T_B S R T_A

Rhwng systemau gwahanol[golygu]

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.

System Petryalog Pegynol
Pegynol

[5]


\begin{array}{lcl}
 x & = & r \cos \theta \\
 y & = & r \sin \theta
\end{array}


\begin{array}{lcl}
 r & = & \sqrt {x^2 + y^2} \\
 \theta & = & \arctan \tfrac {y}{x}
\end{array}

Silindraidd

[6]


\begin{array}{lcl}
 x & = & r \cos \theta \\
 y & = & r \sin \theta \\
z & = & z
\end{array}


\begin{array}{lcl}
 r & = & \sqrt {x^2 + y^2} \\
 \theta & = & \arctan \tfrac {y}{x} \\
z & = & z
\end{array}

Sfferigol

[7]


\begin{array}{lcl}
 x & = & r \cos \theta \sin \phi \\
 y & = & r \sin \theta \sin \phi \\
z & = & r \cos \phi
\end{array}


\begin{array}{lcl}
 r & = & \sqrt {x^2 + y^2 + z^2} \\
 \theta & = & \arctan \tfrac {y}{x} \\
\phi & = & \arctan \tfrac {z}{r}
\end{array}

Gweler hefyd[golygu]

Cyfeiriadau[golygu]

  1. Morris, A.O (1982). Linear Algebra an introduction (2il ed.). Chapman & Hall. tud. 63-66. ISBN 0412381001. 
  2. Weisstein, Eric W. "Right-Handed Coordinate System.". http://mathworld.wolfram.com/Right-HandedCoordinateSystem.html. Adalwyd 5 Awst 2013. 
  3. Morris, A.O (1982). Linear Algebra an introduction (2il ed.). Chapman & Hall. tud. 91-106. ISBN 0412381001. 
  4. Weisstein, Eric W. "Affine Transformation". http://mathworld.wolfram.com/AffineTransformation.html. Adalwyd 8 Awst 2013. 
  5. Weisstein, Eric W. "Polar Coordinates.". http://mathworld.wolfram.com/PolarCoordinates.html. Adalwyd 5 Awst 2013. 
  6. Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates.". http://mathworld.wolfram.com/CylindricalCoordinates.html. Adalwyd 5 Awst 2013. 
  7. Weisstein, Eric W. "Spherical Coordinates.". http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html. Adalwyd 5 Awst 2013.