System gyfesurynnau
Enghraifft o'r canlynol | gwrthrych haniaethol |
---|---|
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia |
System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw system gyfesurynnau. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.
Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.
Cyfesurynnau Cartesaidd
[golygu | golygu cod]Mae system cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system iawnonglog (orthogonal) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau.[1].
Un dimensiwn
[golygu | golygu cod]Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tarddiad yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.
Sawl dimensiwn
[golygu | golygu cod]Enghraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Cartesaidd. Diffinnir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.
- Mewn dau ddimensiwn (plân 2D), diffinnir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
- Mewn tri ddimensiwn (gofod 3D) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
- Yn gyffredinol, mewn gofod Ewclidaidd N dimensiwn mae N echelin sy'n iawnonglog.
Cyfesurynnau pwynt yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan .
Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn N dimensiwn.
Systemau llaw dde
[golygu | golygu cod]Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio system llaw dde, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D[2]. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.
(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)
Cyfesurynnau pegynol
[golygu | golygu cod]Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.
Enwir un pwynt yn begwn. Estynnir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.
Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan (am radiws), a'r ongl gan naill ai , neu : cyfesurynnau pegynol felly yw . Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.
Yn y deiagram, O yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy OL yw'r echelin begynol.
Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:
am bob rhif cyfan . Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i a'r ongl i'r ystod gradd neu radian.
Cyfesurynnau silindraidd
[golygu | golygu cod]Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.
Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn , sef
- y pellter neu ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
- yr ongl asimwth neu (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynnwys yr echelin begynol)
- yr uchder o blân yr echelin begynol
Yn y deiagram, O yw'r tardd, a'r linell drwy OA yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy OL
Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i a'r ongl i'r ystod gradd neu radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae yn yr ystod .
Cyfesurynnau sfferigol
[golygu | golygu cod]Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.
Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn , sef:
- y pellter neu o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
- yr ongl asimwth , debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
- yr ongl begynol , a fesurir o'r echelin begynol.
(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan a'r ongl begynol gan . Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)
Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.
Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau yn diffinio cylch nawnlin (meridian); mae yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.
Trawsnewidiadau ymysg systemau
[golygu | golygu cod]Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)
- mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
- mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,
drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.
Ymysg systemau petryalog
[golygu | golygu cod]Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.
Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau fectorau uned sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau X, Y a Z gan .
Yna mae'r fector
yn y sytem yma.
Gelwir y triawd yn sylfaen (basis) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini [3].
Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o drawsnewidiad affiniol (affine transform) [4]. Y trawsnewidiadau yw:
- trawsfudiad, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y
- mewn dau ddimensiwn,
- cylchdroad, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy yn dilyn
- newid graddfa yng ngyfeiriadau X ac Y
Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud o system i system . Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.
- symud o dardd i dardd cyffredin:
- newid graddfa fel y ddangoswyd uchod, gyda
- ar y ddau echelin
- cylchdroad drwy'r ongl rhwng echelin X system ac echelin X system , fel y ddangoswyd uchod
- symud o'r tardd cyffredin i dardd :
Ceir y matrics terfynol drwy lluosi y rhain:
Rhwng systemau gwahanol
[golygu | golygu cod]Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.
System | Petryalog | Pegynol |
---|---|---|
Pegynol |
|
|
Silindraidd |
|
|
Sfferigol |
|
|
Gweler hefyd
[golygu | golygu cod]- Cyfesurynnau map
- Geometreg gyfesurynnol
- Cyfesurynnau Cartesaidd petrualog (Rectangular Cartesian Co-ordinates)
- Rhif cyd-drefnol (Co-ordination number)
Cyfeiriadau
[golygu | golygu cod]- ↑ Morris, A.O (1982). Linear Algebra an introduction (arg. 2il). Chapman & Hall. t. 63-66. ISBN 0412381001.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Right-Handed Coordinate System". Cyrchwyd 5 Awst 2013.
- ↑ Morris, A.O (1982). Linear Algebra an introduction (arg. 2il). Chapman & Hall. t. 91-106. ISBN 0412381001.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Affine Transformation". Cyrchwyd 8 Awst 2013.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Polar Coordinates". Cyrchwyd 5 Awst 2013.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates". Cyrchwyd 5 Awst 2013.
- ↑ Weisstein, Eric W. "Spherical Coordinates". Cyrchwyd 5 Awst 2013.