Matrics

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Matrics m × n: mae'r m rhes yn llorweddol ac mae'r n colofn yn fertigol. Yn aml, dynodir pob elfen o fatrics gan newidyn gyda dau danysgrifiad. Er enghraifft, mae a2,1 yn cynrychioli'r elfen yn yr ail res a cholofn gyntaf y matrics.

Mewn mathemateg, mae matrics yn arae hirsgwar neu dabl o rifau, symbolau, neu fynegiannau, wedi'u trefnu mewn rhesi a cholofnau. Er enghraifft, dimensiwn y matrics isod yw 2 × 3, oherwydd mae dwy res a thair colofn:

Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics m × n matrics yn elfennau neu gofnodion. Ar gyfer matrics A, yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes i a cholofn j gan ai,j.[1][2]

Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail. Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, n ar gyfer lluosi matrics (m × n) gan fatrics (n × p), sy'n cynhyrchu matrics (m × p). Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau Lladin fel , a .[3]

Sylfeini[golygu | golygu cod y dudalen]

Diffiniad[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae matrics yn arae hirsgwar o rifau (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer.[4] Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros faes F yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o F.[5][6] Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:

Gelwir y rhifau, symbolau, neu ymadroddion yn y matrics yn gofnodion neu'n elfennau. Gelwir llinellau llorweddol a fertigol y cofnodion mewn matrics yn rhesi a cholofnau, yn y drefn honno.

Maint[golygu | golygu cod y dudalen]

Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag m rhes ac n colofn yn fatrics m×n. Gelwir m ac n yn ddimensiynau'r matrics. Er enghraifft, mae'r matrics A uchod yn fatrics 3×2. Gelwir matricsau â rhes sengl yn fectorau rhes, a gelwir y rhai ag un golofn yn fectorau colofn. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn fatrics sgwâr.[7] Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn fatrics anfeidrol. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r matrics gwag.

Trosolwg o faint matrics
Enw Maint Enghraifft Disgrifiad
Fector rhes n Matrics gydag un rhes, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector.
Fector colofn n×1 Matrics gydag un golofn, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector.
Matrics sgwâr n×n Matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli trawsffurfiad llinol o ofod fector iddo'i hun, megis adlewyrchiad neu gylchdroi.

Nodiant[golygu | golygu cod y dudalen]

Yn aml ysgrifennir matricsau mewn cromfachau sgwâr neu gromfachau crwn:

Mae nodiant matrics yn amrywio'n fawr, ond mae rhai confensiynau cyffredinol. Fel arfer, defnyddir priflythrennau (fel A yn yr enghreifftiau uchod) i ddynodi matrics[3][3] tra defnyddir y llythrennau bach cyfatebol gyda dau indecs isysgrif (ee, a11 neu a1,1) i gynrychioli'r cofnodion. Yn ogystal â defnyddio priflythrennau i ddynodi matricsau, mae llawer o awduron yn defnyddio arddull argraffyddol arbennig, yn aml ffont trwm unionsyth (nid yn italig), i wahaniaethu ymhellach rhwng matricsau a gwrthrychau mathemategol eraill.

Weithiau cyfeirir at yr elfen yn y i-fed rhes a'r j-fed golofn o fatrics A fel yr i,j, (i, j), neu (i, j)fed cofnod y matrics. Dynodir yn gyffredin gan ai,j, neu aij. Rhai nodiannau amgen ar gyfer y cofnod hwnnw yw A[i, j] neu Ai,j . Er enghraifft, mae'r (1,3) mynediad y matrics canlynol A yw 5 (ddynodir hefyd yn a13, a1,3, A[1,3] neu A1,3.

Dynodir set yr holl matricsau m x n gan 𝕄(m, n).

Gweithrediadau sylfaenol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae yna nifer o weithrediadau sylfaenol y gellir eu defnyddio i addasu matricsau, er enghraifft adio matrics, lluosi sgalar, trawsddodiad, a lluosi matrics.[8]

Ychwanegiad, lluosi sgalar, a thrawsosod[golygu | golygu cod y dudalen]

Gweithrediadau yn cael eu perfformio ar fatricsau
Gweithrediad Diffiniad Enghraifft
Adio Cyfrifir swm A + B dau fatrics m x n A a B fesul elfen:
(A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, lle 1 ≤ im ac 1 ≤ jn .
Lluosi sgalar Cyfrifir lluoswm cA o rif c (a elwir hefyd yn sgalar ym myd algebra haniaethol) a matrics A trwy luosi pob cofnod mewn A ag c:
(cA)i,j = c · Ai,j.

Gelwir y gweithrediad hwn yn lluosi sgalar, ond nid yw ei ganlyniad yn cael ei enwi'n "gynnyrch graddfa" oherwydd defnyddir y term hwnnw ar gyfer rhywbeth arall.

Trawsddodiad Trawsosod matrics m x n A yw'r matrics n x m AT (weithiau wedi dynodi Atr neu tA) a ffurfiwyd gan droi i mewn i resi golofnau ac i'r gwrthwyneb:
(AT)i, j = Aj, i.

Mae priodweddau cyfarwydd rhifau yn ymestyn i'r gweithrediadau matricsau hyn: er enghraifft, mae adio yn gymudol, hynny yw, nid yw'r swm matrics yn dibynnu ar drefn y symiau: A+B=B+A.[8] Mae'r trawsddodiad yn ymddwyn fel y disgwyl gydag adio a lluosi sgalar, e.e. (cA)T = c(AT) ac (A + B)T = AT + BT, ac (AT)T = A.

Lluosi matrics[golygu | golygu cod y dudalen]

Darlun o luosi matrics AB dau fatrics A a B.

Gallwn ddiffinio lluosi dau fatrics os ac yn unig os yw nifer colofnau'r matrics chwith yr un peth â nifer y rhesi o'r matrics de. Os yw A yn fatrics m x n ac mae B yn fatrics n x p, yna eu luoswm AB yw'r matrics m x p y rhoddir ei gofnodion gan lluoswm dot y rhes gyfatebol o A a'r golofn gyfatebol B:[9]

lle 1 ≤ im ac 1 ≤ jp. Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

Pryd bynnag mae'r lluosi hyn wedi'u diffinio, mae lluosi matrics yn bodloni'r rheolau (AB)C = A(BC), hynny yw cysylltiadedd; (A + B)C = AC + BC ac C(A + B) = CA + CB, hynny yw mae'n ddosbarthol o'r chwith ac o'r dde).[8] Efallai bod AB wedi'i ddiffinio ond nid yw BA, oherwydd meintiau'r matricsau A a B. Hyd yn oed os yw'r ddau luoswm wedi'u diffinio, yn gyffredinol ni fyddant yn gyfartal, hynny yw: ABBA.

Mewn geiriau eraill, nid yw lluosi matrics yn gymudol , mewn cyferbyniad amlwg â rhifau cymarebol, real a chymhlyg, lle mae eu lluosymiau yn annibynnol ar drefn y ffactorau.[9] Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:

tra bod

Matricsau sgwâr[golygu | golygu cod y dudalen]

Matrics sgwâr yw matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau.[7] Gellir ychwanegu a lluosi unrhyw ddau fatrics sgwâr o'r un maint. Mae'r cofnodion aii yn ffurfio prif groeslin y matrics sgwâr. Maent yn gorwedd ar y llinell ddychmygol sy'n rhedeg o'r gornel chwith uchaf i gornel dde isaf y matrics.

Prif fathau[golygu | golygu cod y dudalen]

Enw Enghraifft n = 3
Matrics croeslin
Matrics trionglog isaf
Matrics trionglog uchaf

Matrics croeslin a thrionglog[golygu | golygu cod y dudalen]

Os yw holl gofnodion A o dan y brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics trionglog uchaf. Yn yr un modd, os yw pob cofnod A uwchben y brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics trionglog isaf. Os yw'r holl gofnodion y tu allan i'r brif groeslin yn sero, gelwir A yn fatrics croeslin.

Matrics unfathol[golygu | golygu cod y dudalen]

Y matrics unfathol In o faint n yw matrics n x n lle mae'r holl elfennau ar y prif groeslin yn hafal i 1 a phob elfen arall yn gyfartal i 0, er enghraifft,

Mae'n fatrics sgwâr o drefn n, a hefyd yn fath arbennig o fatrics croeslin. Fe'i gelwir yn fatrics unfathol oherwydd nad yw lluosi ag ef yn newid matrics:

AIn = ImA = A ar gyfer unrhyw fatrics m x n A.

Matrics gwrthdroadwy a'i wrthdro[golygu | golygu cod y dudalen]

Gelwir matrics sgwâr A yn gwrthdroadwy neu'n anhynod os bodoler matrics B fel bod

AB = BA = In,[8]

lle In yw'r matrics unfathol n × n. Os yw B yn bodoli, mae'n unigryw ac fe'i gelwir yn fatrics gwrthdro A, a'i dynodir gan A−1.

Prif weithrediadau[golygu | golygu cod y dudalen]

Olin[golygu | golygu cod y dudalen]

Olin matrics sgwâr A yw swm ei gofnodion croeslin, a ddynodir gan tr(A). Er nad yw lluosi matrics yn gymudol fel y soniwyd uchod, mae olinau luoswm dau fatrics yn annibynnol o drefn y ffactorau: tr(AB) = tr(BA). Hefyd, mae olin matrics yn hafal i olin ei drawsddodiad, hynny yw, tr(A) = tr(AT).

Determinant[golygu | golygu cod y dudalen]

Determinant matrics sgwâr A (a ddynodir gan det(A) neu |A|[3]) yw rhif sy'n disgrifio rhai priodweddau penodol y matrics. Mae matrics yn wrthdroadwy os ac yn unig os yw ei determinant yn di-sero. Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan

[10]

Mae fformiwla Leibniz yn cyffredinoli'r fformiwla hon i bob dimensiwn.[8]

Gwerthoedd eigen a fectorau eigen[golygu | golygu cod y dudalen]

Gelwir rhif λ a fector di-sero v sy'n bodloni

Av = λv

yn werth eigen a fector eigen o A, yn y drefn honno.[8] Mae'r rhif λ yn werth eigen matrics n × n A os ac yn unig os nad yw A −λIn yn wrthdroadwy, sy'n cyfateb i

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Anton, Howard. (1987). Elementary linear algebra (arg. 5th ed). New York: Wiley. ISBN 0-471-84819-0. OCLC 13580207.CS1 maint: extra text (link)
  2. Beauregard, Raymond A. (1973). A first course in linear algebra; with optional introduction to groups, rings, and fields. Fraleigh, John B.,. Boston,: Houghton Mifflin. ISBN 0-395-14017-X. OCLC 600254.CS1 maint: extra punctuation (link)
  3. 3.0 3.1 3.2 3.3 "Comprehensive List of Algebra Symbols". Math Vault (yn Saesneg). 2020-03-25. Cyrchwyd 2020-08-19.
  4. Lang, Serge, 1927-2005,. Algebra (arg. Revised Third Edition). New York. ISBN 0-387-95385-X. OCLC 48176673.CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
  5. Fraleigh, John B. (1976). A first course in abstract algebra (arg. 2d ed). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-01984-1. OCLC 2344185.CS1 maint: extra text (link)
  6. Nering, Evar D. (1974). Elementary linear algebra. Philadelphia: W.B. Saunders Co. ISBN 0-7216-6755-4. OCLC 810127.
  7. 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. "Matrix". mathworld.wolfram.com (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-19.
  8. 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 Brown, William C. (William Clough), 1943- (1991). Matrices and vector spaces. New York: M. Dekker. ISBN 0-8247-8419-7. OCLC 23014977.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  9. 9.0 9.1 "How to Multiply Matrices". www.mathsisfun.com. Cyrchwyd 2020-08-19.
  10. "Matrix | mathematics". Encyclopedia Britannica (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-19.