Hafaliad differol

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Diagram o drosglwyddydd gwres mewn cas pwmp, a grëwyd drwy ddatrus yr hafaliad gwres. Caiff y gwres ei gynhyrchu'n fewnol o fewn y cas, a'i oeri ar yr ymylon, gan ddosbarthu'r gwres, felly, yn gyson a rheoliadd.

Hafaliad mathemategol yw hafaliad differol, sy'n ymwneud â ffwythiant a'i ddeilliadau. Pan gaiff yr egwyddor hwn ei gymhwyso, cynrychiolir y ffwythiannau, fel arfer, fel gwerthoedd ffisegol, mae'r deilliannau'n cynrychioli y raddfa sy'n mesur y newid ac mae'r hafaliad yn diffinio y berthynas rhwng y ddau. Gan fod y fath berthynas mor gyffredin, mae' hafaliadau differol yn chwarae rhan flaenllaw mewn sawl disgyblaeth gan gynnwys peirianneg, ffiseg, economeg a bioleg.

Mewn mathemateg bur, astudir hafaliadau differol o sawl perspectif gwahanol, ond yn bwysicach na'r un, o berspectif datrusiadau - y set o ffwythiannau sy'n bodloni'r hafaliad. Dim ond yr hafaliad differol symlaf un all gael ei ddatrus gan fformiwlâu penodol; fodd bynnag, gellir canfod rhai o briodweddau datrusiadau hafaliad differol arbennig heb ganfod eu hunion ffurf.

Os nad oes mynegiad caeedig ar gael ar gyfer y datrusiad, gellir brasamcanu'r rhif drwy ddefnyddio cyfrifiaduron. Mae theori systemau dynamig yn rhoi'r pwyslais ar ddadansoddiadau o ansawdd y systemau hyn, drwy hafaliadau differol; ar y llaw arall, datblygwyd sawl dull rhifyddol, er mwyn cafod atebion, a hynny'n eitha cywir.

Hanes[golygu | golygu cod y dudalen]

Daeth hafaliadau differol i fodolaeth am y tro cyntaf pan ddatblywyd calcwlws gan Leibniz ac Newton. Ym Mhennod 2 o Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum mae Newton yn rhestru tri math o hafaliadau differol:

Mae'n datrus yr enghreifftiau hyn, ac eraill, drwy gyfres anfeidraidd, ac mae'n trafod y datrusiadau hyn gan nodi nad ydynt yn unigryw.

Yn 1695, cynigiodd Jacob Bernoulli yr hyn a elwir heddiw yn "hafaliad differol Bernoulli".[1] Mae'r hafaliad hwn yn un cyffredin, a ellir ei nodi yn y ffurf ganlynol:

Y flwyddyn ganlynol, canfyddodd Leibniz ddatrusiadau drwy ei symlhau.[2]

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum
  2. Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, Efrog Newydd: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0