Integryn: Gwahaniaeth rhwng fersiynau
Glanhawr (sgwrs | cyfraniadau) |
Glanhawr (sgwrs | cyfraniadau) |
||
Llinell 12: | Llinell 12: | ||
:<math> S \approx \sum f\ \delta x. </math> |
:<math> S \approx \sum f\ \delta x. </math> |
||
Er mwyn gwella'r bras amcan gellir rhannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau ''δx'' llai ac ail adrodd y broses. Wrth i ''δx'' agosáu at 0, mae nifer yr ysbeidiau, ''N'', yn agosáu at [[anfeidredd]] ac mae'r swm uchod yn agosáu at [[terfyn (mathemateg)|derfyn]] sy'n hafal i'r pellter a deithiwyd. Yr integryn yw'r |
Er mwyn gwella'r bras amcan gellir rhannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau ''δx'' llai ac ail adrodd y broses. Wrth i ''δx'' agosáu at 0, mae nifer yr ysbeidiau, ''N'', yn agosáu at [[anfeidredd]] ac mae'r swm uchod yn agosáu at [[terfyn (mathemateg)|derfyn]] sy'n hafal i'r pellter a deithiwyd. Yr integryn yw'r terfyn hwn ble mae ''f'' yn ffwythiant o ''x'': |
||
:<math>S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{\delta x \to0} \sum^N_{i=1} f(x_i)\ \delta x,</math> |
:<math>S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{\delta x \to0} \sum^N_{i=1} f(x_i)\ \delta x,</math> |
||
Llinell 18: | Llinell 18: | ||
:ble <math>\delta x = \dfrac{b-a}{N}.</math> |
:ble <math>\delta x = \dfrac{b-a}{N}.</math> |
||
Mae'r [[terfyn (mathemateg)|terfyn]] uchod yn ddiffiniad o'r gweithrediad rhifadol sy'n rhoi integryn y ffwythiant f(x). Fodd bynnag o ganlyniad i [[damcaniaeth sylfaenol calcwlws|ddamcaniaeth sylfaenol calcwlws]] a |
Mae'r [[terfyn (mathemateg)|terfyn]] uchod yn ddiffiniad o'r gweithrediad rhifadol sy'n rhoi integryn y ffwythiant ''f''(''x''). Fodd bynnag o ganlyniad i [[damcaniaeth sylfaenol calcwlws|ddamcaniaeth sylfaenol calcwlws]] a ddarganfuwyd gan [[Isaac Newton]] a [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] yn y [[1670au]] gellir cyfrifo'r integryn pendant drwy werthuso gwrthddifferiadau: |
||
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\ dx = F(b) - F(a), </math> |
:<math> \int_{a}^{b} f(x)\ dx = F(b) - F(a), </math> |
Fersiwn yn ôl 16:27, 8 Medi 2012
Un o brif gysyniadau'r calcwlws yw integryn. Pwrpas integreiddio rhifiadol yw i ddod o hyd i ardal o dan y gromlin rhwng dau bwynt diwedd. Hynny yw y gallu i werthuso
lle mae a a b cael eu rhoi ac mae f yn ffwythiant a roddwyd yn ddadansoddol neu fel tabl o werthoedd.
Integryn pendant
Ystyriwch wrthrych sy'n teithio ar fuanedd cyson. Gellir darganfod y pellter a deithiwyd ar ôl rhyw amser x drwy luosi'r buanedd gyda'r amser. Ystyriwch yn awr wrthrych sy'n teithio ar fuanedd anghyson, f. Ar y graff ar y dde, y = f, x yw amser, ac ardal S yw'r pellter a deithiwyd yn ystod y cyfnod b - a. Nid yw lluosi syml yn ddigonol i ddarganfod y pellter a deithiwyd gan fod y buanedd yn newid o un eiliad i'r llall. Fodd bynnag gallem rannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau bach hafal, δx. Yna gallem luosi pob ysbaid δx gydag un o'r buaneddau f yn ei ystod. Yn olaf er mwyn cael bras amcan o'r pellter S a deithiwyd gallem adio i fyny'r cynyddrannau pellter f * δx:
Er mwyn gwella'r bras amcan gellir rhannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau δx llai ac ail adrodd y broses. Wrth i δx agosáu at 0, mae nifer yr ysbeidiau, N, yn agosáu at anfeidredd ac mae'r swm uchod yn agosáu at derfyn sy'n hafal i'r pellter a deithiwyd. Yr integryn yw'r terfyn hwn ble mae f yn ffwythiant o x:
- ble
Mae'r terfyn uchod yn ddiffiniad o'r gweithrediad rhifadol sy'n rhoi integryn y ffwythiant f(x). Fodd bynnag o ganlyniad i ddamcaniaeth sylfaenol calcwlws a ddarganfuwyd gan Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz yn y 1670au gellir cyfrifo'r integryn pendant drwy werthuso gwrthddifferiadau:
- ble
Integryn amhendant
Y gwrthddifferiad yw'r integryn amhendant. Hynny yw ffwythiant gyda'r gwerth canlynol ar bob pwynt x:
lle mae a yn gysonyn, annibynnol o x.
Fe ysgrifennir yr integryn amhendant yn gyffredin fel:
O ganlyniad i'r berthynas wrthdro rhwng differu ac integru, os cyfrifir deilliad integryn, y ffwythiant gwreiddiol yw'r canlyniad:
Os mae g(x) yn integryn amhendant f(x), mae g(x)+C hefyd yn integryn amhendant f(x) ar gyfer pob cysonyn C annibynnol o x. Nid un ffwythiant yw integryn amhendant, felly, eithr cyfres o ffwythiannau, a wahanir drwy adio cysonyn.
Integrynnau cyffredin
- Polynymiad:
- Ffwythiant exp(x):
- Ffwythiant x-1:
- Deilliad gwrthdro ffwythiant tan:
Ysgrifennu'r symbol ar gyfrifaduron
Côd ar gyfer y symbol ∫ yw 222B hecsadegol yn Unicode; gellir ei ysgrifennu fel ∫ yn HTML.