Integryn

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

Un o brif gysyniadau'r calcwlws yw integryn. Pwrpas integreiddio rhifiadol yw i ddod o hyd i ardal o dan y gromlin rhwng dau bwynt diwedd. Hynny yw y gallu i werthuso

 \int_{a}^{b} f(x)\, dx

lle mae a a b cael eu rhoi ac mae f yn ffwythiant a roddwyd yn ddadansoddol neu fel tabl o werthoedd.

Integryn pendant[golygu]

Yr arwynebedd, S, dan y graff yw'r integryn pendant,  \int_{a}^{b} f(x)\, dx

Ystyriwch wrthrych sy'n teithio ar fuanedd cyson. Gellir darganfod y pellter a deithiwyd ar ôl rhyw amser x drwy luosi'r buanedd gyda'r amser. Ystyriwch yn awr wrthrych sy'n teithio ar fuanedd anghyson, f. Ar y graff ar y dde, y = f, x yw amser, ac ardal S yw'r pellter a deithiwyd yn ystod y cyfnod b - a. Nid yw lluosi syml yn ddigonol i ddarganfod y pellter a deithiwyd gan fod y buanedd yn newid o un eiliad i'r llall. Fodd bynnag gallem rannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau bach hafal, δx. Yna gallem luosi pob ysbaid δx gydag un o'r buaneddau f yn ei ystod. Yn olaf er mwyn cael bras amcan o'r pellter S a deithiwyd gallem adio i fyny'r cynyddrannau pellter f * δx:

 S \approx \sum f\ \delta x.

Er mwyn gwella'r bras amcan gellir rhannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau δx llai ac ail adrodd y broses. Wrth i δx agosáu at 0, mae nifer yr ysbeidiau, N, yn agosáu at anfeidredd ac mae'r swm uchod yn agosáu at derfyn sy'n hafal i'r pellter a deithiwyd. Yr integryn yw'r terfyn hwn ble mae f yn ffwythiant o x:

S = \int_{a}^{b} f(x)\, dx = \lim_{\delta x \to0} \sum^N_{i=1} f(x_i)\ \delta x,
ble \delta x = \dfrac{b-a}{N}.

Mae'r terfyn uchod yn ddiffiniad o'r gweithrediad rhifadol sy'n rhoi integryn y ffwythiant f(x). Fodd bynnag o ganlyniad i ddamcaniaeth sylfaenol calcwlws a ddarganfuwyd gan Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz yn y 1670au gellir cyfrifo'r integryn pendant drwy werthuso gwrthddifferiadau:

 \int_{a}^{b} f(x)\ dx = F(b) - F(a),
ble  F'(x) = f(x).

Integryn amhendant[golygu]

Y gwrthddifferiad yw'r integryn amhendant. Hynny yw ffwythiant gyda'r gwerth canlynol ar bob pwynt x:

 \int_{a}^{x} f(x)\, dx

lle mae a yn gysonyn, annibynnol o x.

Fe ysgrifennir yr integryn amhendant yn gyffredin fel:

 \int f(x)\, dx

O ganlyniad i'r berthynas wrthdro rhwng differu ac integru, os cyfrifir deilliad integryn, y ffwythiant gwreiddiol yw'r canlyniad:

 \int f'(x)\ dx = f(x)

Os mae g(x) yn integryn amhendant f(x), mae g(x)+C hefyd yn integryn amhendant f(x) ar gyfer pob cysonyn C annibynnol o x. Nid un ffwythiant yw integryn amhendant, felly, eithr cyfres o ffwythiannau, a wahanir drwy adio cysonyn.

Integrynnau cyffredin[golygu]

  • Polynymiad:
\int x^n\ dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C,\ n \ne -1
  • Ffwythiant exp(x):
\int e^x\ dx = e^x + C
  • Ffwythiant x-1:
\int \frac{1}{x}\ dx = \ln x + C
\int \ln x\ dx = x\ln x - x + C
  • Deilliad gwrthdro ffwythiant tan:
\int \frac{1}{x^2 + 1}\ dx = \arctan x + C

Ysgrifennu'r symbol ar gyfrifaduron[golygu]

Côd ar gyfer y symbol ∫ yw 222B hecsadegol yn Unicode; gellir ei ysgrifennu fel ∫ yn HTML.