Differu

Graff o ffwythiant mewn du, a llinell tangiad y ffwythiant mewn coch. Mae graddiant y llinell tangiad yn gyfartal â differiad y ffwythiant ar y pwynt sydd wedi ei farcio.

Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (x, f(x)).

Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

Diffiniad

Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth, y = mx + c, yn hafal i newid mewn y wedi ei rannu gan newid mewn x; Δy/Δx = m. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δy/Δx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'r terfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(y+\Delta y)-y}{(x+\Delta x)-x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Gan fod y = f(x), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(x), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

$f'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

Enghraifft

Wrth ddiferu'r ffwythiant, $f(x)\!=x^{2}$, ceir:

${\begin{aligned}f'(x)&{}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&{}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&{}=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}(2x+\Delta x)\\&{}=2x\end{aligned}}$

Hynny yw, wrth i Δx agosáu at 0, mae (2x + Δx) yn agosáu at derfyn o 2x. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(x) = x² yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnod x y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.

Differiadau cyffredin

Ffwythiannau cyffredin

Isod gweler rhestr o ddifferiadau'r ffwythiannau a ddefnyddir fynychaf mewn calcwlws:

${\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$

${\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}$

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

${\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x$

${\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x$

${\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x$

${\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\ \ln a}}$

${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ \ln a$

Rheolau cyffredinol

Mae hefyd ar gael reolau cyffredinol er mwyn hwyluso'r broses o gyfrifo differiadau cymhleth:

• Rheol adio:

${\frac {d}{dx}}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)$

• Rheol lluosi:

${\frac {d}{dx}}(f(x)\ g(x))=f'(x)\ g(x)+g'(x)\ f(x)$

• Rheol cadwyn:

${\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\ g'(x)$

Dolenni allanol

• Cyfrifiannell Ffwythiant WIMS sy'n cyfrifo'r difer ar-lein; mae'r meddalwedd yn galluogi ymarferion rhyngweithiol.
• Cyfrifiannell gwahaniaethu.
• Cyfrifiannell Differu ar-lein.
• "Mathematical Assistant on Web" Cyfrifiannell Differu ar-lein, gan gynnwys eglurhad o'r ateb.
• Proving Derivatives from First Principles.
• Practice finding derivatives of randomly generated functions