Ofoid

Ofoid

Math	surface

Mewn geometreg dafluniol, mae'r ofoid yn wrthrych solid 3-dimensiwn (neu d ≥ 3) tebyg i wy. Enghraifft arall yw'r cwadrigau. Gelwir y fersiwn 2-ddimensiwn yn "hirgrwn". Mae'r ofoid yn fath arbennig o'r set cwadratig (h.y. set o bwyntiau mewn gofod tafluniol sydd a'r un nodweddion a'r trychiad conig).

Nodweddion hanfodol yr ofoid ${\mathcal {O}}$ yw:

1. fod pob llinell yn croestorri ${\mathcal {O}}$ mewn [hyd at] dau le; h.y. croestoriadau ≥ 2 bwynt.
2. fod tangiad pob pwynt ar y gor-blân yn unig (ar wahân i achosion dirywiedig), a
3. nad yw ${\mathcal {O}}$ yn cynnwys unrhyw linell (ar wahân i arwynebau llinellog).

Mae'r ofiod yn chwarae rhan allweddol wrth lunio enghreifftiau o'r plân Möbius a geometregau Möbius uwch-ddimensiwn.

Diffiniad o'r ofoid

• Mewn gofod tafluniol o ddimensiwn d ≥ 3, gelwir y set o bwyntiau ${\mathcal {O}}$ yn ofoid, os:

(1) yw pob llinell g yn cyfarfod (neu 'groestorri') ${\mathcal {O}}$ mewn hyd at 2 bwynt. Yn yr achos lle mae $|g\cap {\mathcal {O}}|=0$, gelwir y llinell yn "llinell allanol", os yw $|g\cap {\mathcal {O}}|=1$ y llinell yn 'llinell dangiad', ac os yw $|g\cap {\mathcal {O}}|=2$ y llinell yn llinell secant.

(2) ar unrhyw bwynt $P\in {\mathcal {O}}$, fod y llinell dangiad drwy P yn gorchuddio'r gor-blân, a elwir yn "gor-blân (hyperplane) y tangiad" (sef is-blân tafluniol o ddimensiwn d − 1).

(3) nad yw ${\mathcal {O}}$ yn cynnwys unrhyw linell.

Ar gyfer gofod tafluniol meidraidd o ddimensiwn d ≥ 3), mae'r canlyniad canlynol yn gywir:

• Os yw ${\mathcal {O}}$ yn ofoid mewn gofod tafluniol meidraidd d ≥ 3, yna d = 3.

Ac yn yr achos 'medraidd' hwn, dim ond mewn gofod 3-dimensiwn y gall yr ofoid fodoli.

• Mewn gofod tafluniol meidraidd yn nhrefn n >2 (h.y. lle mae pob llinell yn cynnwys yn union n + 1 o bwyntiau) a d = 3 dimensiwn), yna mae pob pointset ${\mathcal {O}}$ yn ofoid os a dim ond os yw $|{\mathcal {O}}|=n^{2}+1$ ac ni cheir unrhyw 3 pwynt sy'n unllin (ar linell sy'n gyffredin).

O gyfnewid y gair "tafluniol" gydag "affin", yna fe geir y diffiniad ar gyfer yr ofoid affin.

Enghreifftiau

Mewn gofod tafluniol real

1. ${\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|\;x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2}=1\}\ ,$ (hypersphere)
2. ${\mathcal {O}}=\{(x_{1},...,x_{d})\in {\mathbb {R} }^{d}\;|x_{d}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{d-1}^{2}\;\}\;\cup \;\{{\text{yn feidraidd ar bwynt }}x_{d}{\text{-axis}}\}$

Mae'r ddwy enghraifft hyn yn cwadrig ac o ran eu tafluniad, yn hafal.

Gellir canfod enghreifftiau syml sydd ddim yn cwadrig drwy:

(a) ludo un hanner o hyper-sffêr (hypersphere) ar hyperelipsoid, mewn modd llyfn.

(b) yn y ddwy enghraifft uchod, cyfnewidiwch y mynegiad x₁² gyda x₁⁴.

Enghraifft feidraidd

• Mae unrhyw ofoid ${\mathcal {O}}$ mewn gofod tafluniol meidraidd o ddimensiwn d = 3 dros y maes K o nodwedd ≠ 2 yn "cwadrig".