Homograffeg

Cymhwyso trawsffurfiad tafluniol i'r byd real, mewn tafluniad perspectif. Yma, mae'r pwyntiau A, B, C, D a V yn bwyntiau ar y ddelwedd, gyda'r gofod rhyngddynt mewn picselau. Lleolir A', B', C' a D' yn y byd real, gyda'r pellter rhyngddynt mewn metrau. * Yn (1), mae lled y stryd, W, wedi'i gyfrifo gan led y siopau cyferbyn. * Yn (2), lled un siop yn unig sydd ei angen oherwydd fod y diflanbwynt, V, yn weladwy.

Mewn geometreg dafluniol mae homograffeg (hefyd trawsffurfiad tafluniol neu unlluniad tafluniol) yn isomorffedd o'r gofod fector, a anwythwyd gan isomorffedd o'r gofod fector o ba le y tardd y gofod tafluniol. Hwn yw'r deudafl (bijection) sy'n mapio llinellau i linellau eraill, ac felly yn "unlliniad" (collineation). Yn gyffredinol, nid yw pob unlluniad yn homograffig, ond mae theori sylfaenol geometreg dafluniol yn datgan nad yw hynny'n wir o ran taflunio gofod real dau neu fwy dimensiwn.

Yn hanesyddol, cyflwynwyd homograffegau a gofodau tafluniol yn un pwrpas er mwyn astudio perspectif a thaflunio gofod Euclidaidd; yn wir, mae'r term "homograffi" ei hun yn deillio o'r cyfnod hwn ac o ran geirdarddiad yn golygu "llun (neu luniad) tebyg". Ar ddiwedd y 19g, cyflwynwyd diffiniadau ffurfiol o ofod tafluniol, a oedd yn wahanol i ofod Ewclidig a gofod affin gan eu bod yn ychwanegu "pwyntiau anfeidredd". Y lluniadau haniaethol hyn oedd sail y term newydd "trawsffurfiad tafluniol"; ceir dau ddosbarth ohonynt, dau ddosbarth hafal i'w gilydd:

Mae'r pwyntiau A, B, C, D ac A′, B′, C′, D′ yn perthyn i'w gilydd drwy'r perspectif, sy'n gyffredin rhyngddynt, ac sy'n drawsffurfiad tafluniol.

1. Gellir llunio gofod tafluniol fel set o linellau'r gofod fector dros faes penodol. Mae'r diffiniad ar ddechrau'r erthygl hon wedi'i seilio ar y gosodiad yma. Mae hyn yn caniatáu i'r mathemategydd i ddefnyddio algebra llinol ar gyfer astudio homograffegau.

2. Mae'r ail ddull yn cynnwys diffinio'r gofod tafluniol trwy set o wirebau nad ydynt yn cynnwys unrhyw faes. Yn y cyd-destyn hwn, mae'n haws diffinio unlliniadau nag yw i ddiffinio homograffegau, ac felly mae homograffeg, yn aml yn cael ei ddiffinio gan unlluniadau penodol a elwir yn "unlluniadau tafluniol".

Cymhareb draws

Mae cymhareb draws y 4 pwynt unllin yn sefydlyn (invariant) yn yr homograffeg sy'n ffwndamental i'r astudiaeth o homograffeg y llinellau.

Mae'r tri pwynt a, b ac c ar linell dafluniol dros faes F yn ffurfio ffrâm dafluniol o'r linell hon. Ceir felly homograffeg unigryw h o'r linell hon i F ∪ ∞ sy'n mapio a i ∞, b ac i 0, ac c i 1. O bennu 4ydd pwynt ar yr un llinell, cymhareb draws y 4 pwynt a, b, c a d, a ddynodir [a, b; c, d], yw'r elfen h(d) o F ∪ ∞. Mewn geiriau eraill, os oes gan d gyfesurynnau homogenaidd [k : 1] dros y ffrâm dafluniol (a, b, c), yna:

[a, b; c, d] = k.