Plân geometraidd

Oddi ar Wicipedia
(Ailgyfeiriad oddi wrth Plân)
Jump to navigation Jump to search
Dau blân geometraidd yn croestori
Tri plân cyfochrog

Mewn mathemateg, mae plân yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (subspaces) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (y plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.

Geometreg Ewclidaidd[golygu | golygu cod y dudalen]

Fel llawer o gysyniadau mathemategol, Euclid oedd y cyntaf i grynhoi ei feddwl yn daclus yn y maes hwn (a'i gofnodi yn yr Elfennau), a hynny mewn dull gwirebol (axiomatic). Dewisodd lond dwrn o dermau craidd, heb eu diffinio (a elwir yn 'ofynion cyffredinol'; common notions) a 'chynosodau' (neu 'wirebau'); defnyddiodd y rhain i brofi nifer o ddatganiadau geometrig. Er nad yw'r plân, yn ei ystyr fodern, yn cael ei ddiffinio'n o fewn yr Elfennau, gellir ei ystyried fel rhan o'r gofynion cyffredinol. Ni ddefnyddiodd Euclid rifau erioed i fesur hyd, ongl, neu ardal. Oherwydd hyn, nid yw plân Ewclid yn union yr un fath â'r plân Cartesaidd.

Arwyneb a rannwys ar ffurf grid, felly, yw'r plân Ewclidaidd.

Planau tri dimensiwn mewn gofod Ewclidaidd[golygu | golygu cod y dudalen]

Mewn gofod Ewclidaidd o unrhyw nifer o ddimensiynau, mae plân wedi'i bennu'n unigryw gan unrhyw un o'r canlynol:

  • Tri phwynt nad yw'n unllin (non-collinear) (pwyntiau ddim ar linell sengl).
  • Llinell a phwynt heb fod ar y linell honno.
  • Dwy linell wahanol sy'n croestorri.
  • Dwy linell gyfochrog.

Nodweddion[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r datganiadau canlynol yn dal mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn ond nid mewn dimensiynau uwch, er bod ganddynt analog uwch-ddimensiwn:

  • Mae dwy blân wahanol naill ai'n gyfochrog neu maent yn croestorri mewn llinell.
  • Mae llinell naill ai'n gyfochrog i'r plân, yn ei groestorri ar un pwynt, neu wedi'i gynnwys yn y plân.
  • Rhaid i ddwy linell wahanol, berpendicwlar i'r un plân fod yn gyfochrog â'i gilydd.
  • Rhaid i ddwy plân wahanol sy'n perpendicwlar i'r un linell fod yn gyfochrog â'i gilydd.

Hafaliadau'r plân[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae gan blanau mewn gofod tri dimensiwn ddisgrifiad naturiol gan ddefnyddio pwynt yn y plân a fector orthogonal iddo (y fector arferol) i nodi ei "oledd" (inclination).

Pe ddywedir fod r0 yn fector safle o ryw bwynt P0 = (x0, y0, z0), a bod n = (a, b, c) yn fector di-sero. Mae'r plân a bennir gan y pwynt P0 a'r fector n yn cynnwys y pwyntiau P, gyda fectorau safle r, fel bod y fector a dynnir o P0 i P yn berpendicwlar i n. O dwyn i gof bod y ddau factor hyn yn berpendicwlar os yw eu lluoswm-dot yn sero, yna, mae'n dilyn y gellir disgrifio'r plân fel set o bob pwynt r fel bod:

(Mae'r dot yma'n gyfystyr â'r lluoswm-dot (neu 'luoswm sgalar'). O'i ehangu, fe geir:

sef y ffurf 'pwynt normal' o hafaliad y plân.[1] hafaliad llinol yw hwn

ble mae

Y gwrthwyneb: os yw a, b, c a d yn gysonion ac nad yw a, b, na c i gyd yn sero, yna mae graff yr hafaliad

yn blân sydd a'i fector n = (a, b, c) yn normal.[2] Dyma'r dull arferol o gyflwyno hafaliad y plân.[3]


Gweler hefyd[golygu | golygu cod y dudalen]

  • Plân arosgo (planau arosgo) - (oblique plane)
  • Plân ar oledd - inclined plane
  • plân cyfeirnod - plane of reference
  • plân cymesuredd plane of symmetry

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Anton 1994, p. 155
  2. Anton 1994, p. 156
  3. Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", MathWorld--A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/Plane.html, adalwyd 2009-08-08