Hafaliad Laplace

Mewn mathemateg, hafaliad differol rhannol yw hafaliad Laplace. Fe'i henwyd ar ôl Pierre-Simon Laplace, a'i dargynfyddodd. Mae datrysiadau'r hafaliad yn bwysig mewn sawl maes gwyddonol (electromagneteg, seryddiaeth, a dynameg hylifau er enghraifft), am eu bod yn disgrifio ymddygiad potensialau trydanol, disgyrchol a hylifol.

Diffiniad

Mewn tri dimensiwn, y broblem yw i ganfod ffwythiannau $\varphi$ o newidynnau real x, y, a z, fel y gellid differu $\varphi$ dwywaith, a'u bod yn bodloni'r hafaliad:

${\partial ^{2}\varphi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}\varphi \over \partial z^{2}}=0.$

Ysgrifennir hyn yn aml fel hyn:

$\nabla ^{2}\varphi =0$

neu

$\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi =0,$

neu

$\Delta \varphi =0$

lle dynoda Δ y gweithredydd Laplace.

Fe gelwir datrysiadau i'r hafaliad yn ffwythiannau harmonig.

Os roddir ffwythiant ansero f(x, y, z)ar ochr dde'r hafaliad, hynny yw:

$\Delta \varphi =f$

yna gelwir yr hafaliad yn hafaliad Poisson. Hafaliad Laplace a hafaliad Poisson yw'r enghreifftiau symlaf o hafaliad differol eliptig. Gelwir y gweithredydd differol $\nabla ^{2}$ neu $\Delta$ (a gellid ei diffinio mewn unrhyw nifer o ddimensiynau) yn weithredydd Laplace.

Amodau ffin

Y broblem Dirichlet ar gyfer hafaliad Laplace yw i ganfod datrysiad $\varphi$ ar ryw barth $D$ sydd â $\varphi$ yn hafal i ffwythiant neilltuol ar ffin $D$. Gan fod y gweithredydd Laplace yn ymddangos yn yrhafaliad gwres, mae'n bosib rhoi dehongliad ffisegol fel a ganlyn: pennwch y dymheredd ar ffin y parth, ac yna disgwyl tan fod tymheredd wedi peidio â newid; yna fe fydd tymheredd y mewnedd yn ddatrysiad i'r broblem Dirichlet cyfatebol.

Mae amodau ffin Neumann ar gyfer yr hafaliad yn pennu'r differiad normal $\varphi$ ar $D$, yn hytrach na gwerth $\varphi$ ei hun. Yn ffisegol, mae hyn yn cyfateb i lunio potensial ar gyfer maes fectoraidd, lle dim ond ar ffin $D$ y gwyddys effaith y potensial.

Mae ffwythiannau harmonig (hynny yw, datrysiadau i hafaliad Laplace) yn ddadansoddol o fewn y parth lle mae'r hafaliad yn cael ei bodloni. Fel gydag unrhyw hafaliad differol llinol homogenaidd, os mae dau ffwythiant y ddatrysiadau i hafaliad Laplace, yna mae eu swm (neu unrhyw gyfuniad llinol ohonynt am hynny) yn ddatrysiad yn ogystal.