Homeomorffedd

Anffurfiad di-dor (continuous deformation) rhwng myg coffi a thoesen (donyt), sy'n dangos eu bod yn homeomorffig.

O fewn un o feysydd mathemateg, sef topoleg, mae homeomorffedd neu isomorffedd topolegol yn ffwythiant di-dor rhwng gofod topolegol sydd a ffwythiant gwrthdro di-dor. Mae homeomorffedd yn isomorffiadau sy'n ymwneud â gofod, h.y. maent yn fap mathemategol (math o ffwythiant) o ofod.

Mae unrhyw ddau ofod gyda homeomorffedd rhyngddynt yn cael eu galw'r homeomorffig, ac o berspectif topoleg, maen nhw yr un fath. Gair cyfansawdd, groegaidd yw homeomorffedd: ὅμοιος (homoios) = "tebyg neu'r un fath" a μορφή (morphē) = "siap neu ffurf" ac fe'i bathwyd gan Henri Poincaré yn 1895.

Yn gyffredinol, mae gofod topolegol yn wrthrych geometrig, ac mae'r homeomorffedd yn ymestyn neu'n blygiad di-dor y gwrthrych nes ei fod yn siâp newydd. Felly, mae sgwâr a chylch yn homeomorffig i'w gilydd, ond nid yw sffêr a torsws (sef gwrthrych tebyg i doesen). Fodd bynnag, gall y disgrifiad hwn fod yn gamarweiniol; nid yw rhai anffurfiadau di-dor yn homeomorffig, megis anffurfiad llinell i mewn i bwynt. Nid yw rhai homeomorffeddau yn anffurfiadau di-dor ychwaith, e.e. yr homeomorffedd rhwng cwlwm treffoil a chylch.

Mae'r cwlwm treffoil yn homeomorffig i'r torws, ond nid isotopig yn R³.

Diffiniad

Gelwir y ffwythiant $f:X\to Y$ rhwng dau ofod topolegol $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ a $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ yn homeomorffedd os oes ganddo'r nodweddion hyn:

• mae $f$ yn bijection (yn ffwythiant mewnsaethol ac yn ffwythiant arsaethol),
• mae $f$ yn barhaus,
• mae'r ffwythiant gwrthdro (inverse function) $f^{-1}$ yn barhaus (lle mae $f$ yn fap agored).

Gelwir y ffwythiant lle ceir y dair nodwedd yma yn bicontinuous. Os yw'r ffwythiant yn bodoli dywedir bod $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ a $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ yn "homeomorffig".

Enghreifftiau

• Mae'r cyfwng ${\textstyle (a,b)}$ yn homeomorffig i'r rhifau real ${\textstyle \mathbf {R} }$ am unrhyw ${\textstyle a<b}$. Yn yr achos hwn, mae'r mapio di-dor yn cael ei roi gan ${\textstyle f(x)={\frac {1}{a-x}}+{\frac {1}{b-x}}}$, a rhoddir mapiau gwahanol drwy newid graddfa a thrawsfudo fersiynau o'r ffwythiannau tan neu arg tanh.
• Mae'r uned 2-ddisg ${\textstyle D^{2}}$ a'r uned sgwâr yn R² yn homeomorffig; gan y gellir i anffurfio yn uned sgwâr. Enghraifft o fapio di-dor o'r sgwâr i'r ddisg yw (mewn cyfesutynnau polar) $(\rho ,\theta )\mapsto \left(\rho \max(|\cos \theta |,|\sin \theta |),\theta \right)$.