Homeomorffedd

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Anffurfiad di-dor (continuous deformation) rhwng myg coffi a thoesen (donyt), sy'n dangos eu bod yn homeomorffig.

O fewn un o feysydd mathemateg, sef topoleg, mae homeomorffedd neu isomorffedd topolegol yn ffwythiant di-dor rhwng gofod topolegol sydd a ffwythiant gwrthdro di-dor. Mae homeomorffedd yn isomorffiadau sy'n ymwneud â gofod, h.y. maent yn fap mathemategol (math o ffwythiant) o ofod.

Mae unrhyw ddau ofod gyda homeomorffedd rhyngddynt yn cael eu galw'r homeomorffig, ac o berspectif topoleg, maen nhw yr un fath. Gair cyfansawdd, groegaidd yw homeomorffedd: ὅμοιος (homoios) = "tebyg neu'r un fath" a μορφή (morphē) = "siap neu ffurf" ac fe'i bathwyd gan Henri Poincaré yn 1895.[1][2]

Yn gyffredinol, mae gofod topolegol yn wrthrych geometrig, ac mae'r homeomorffedd yn ymestyn neu'n blygiad di-dor y gwrthrych nes ei fod yn siâp newydd. Felly, mae sgwâr a chylch yn homeomorffig i'w gilydd, ond nid yw sffêr a torsws (sef gwrthrych tebyg i doesen). Fodd bynnag, gall y disgrifiad hwn fod yn gamarweiniol; nid yw rhai anffurfiadau di-dor yn homeomorffig, megis anffurfiad llinell i mewn i bwynt. Nid yw rhai homeomorffeddau yn anffurfiadau di-dor ychwaith, e.e. yr homeomorffedd rhwng cwlwm treffoil a chylch.

Mae'r cwlwm treffoil yn homeomorffig i'r torws, ond nid isotopig yn R3.

Diffiniad[golygu | golygu cod y dudalen]

Gelwir y ffwythiant rhwng dau ofod topolegol a yn homeomorffedd os oes ganddo'r nodweddion hyn:

  • mae yn bijection (yn ffwythiant mewnsaethol ac yn ffwythiant arsaethol),
  • mae yn barhaus,
  • mae'r ffwythiant gwrthdro (inverse function) yn barhaus (lle mae yn fap agored).

Gelwir y ffwythiant lle ceir y dair nodwedd yma yn bicontinuous. Os yw'r ffwythiant yn bodoli dywedir bod a yn "homeomorffig".

Enghreifftiau[golygu | golygu cod y dudalen]

  • Mae'r cyfwng yn homeomorffig i'r rhifau real am unrhyw . Yn yr achos hwn, mae'r mapio di-dor yn cael ei roi gan , a rhoddir mapiau gwahanol drwy newid graddfa a thrawsfudo fersiynau o'r ffwythiannau tan neu arg tanh.
  • Mae'r uned 2-ddisg a'r uned sgwâr yn R2 yn homeomorffig; gan y gellir i anffurfio yn uned sgwâr. Enghraifft o fapio di-dor o'r sgwâr i'r ddisg yw (mewn cyfesutynnau polar) .

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. "Analysis Situs selon Poincaré (1895)". serge.mehl.free.fr. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 11 June 2016. Adalwyd 29 April 2018.  Check date values in: |access-date=, |archive-date= (help)
  2. Gamelin, T. W.; Greene, R. E. (1999). Introduction to Topology. Courier. p. 67.