Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw anhafaledd Cauchy–Schwarz, (hefyd anhafaledd Schwarz, Anhafaledd Cauchy, neu Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn:

Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

ar gyfer unrhyw elfennau x ac y o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os y mae x ac y yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm:

Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf[golygu | golygu cod y dudalen]

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae y = 0, fe gawn gymryd fod <y, y> yn an-sero. Gadewch i fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

Gan ddewis

gwelwn fod

sy'n wir os, a dim ond os y mae

hynny yw:

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig[golygu | golygu cod y dudalen]

Rn[golygu | golygu cod y dudalen]

Mewn gofod Ewclidaidd Rn, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

L2[golygu | golygu cod y dudalen]

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

Defnydd[golygu | golygu cod y dudalen]

Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau x ac y,

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

Cyffredinoliadau[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.

Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: gofod lluoswm mewnol, gofod fectoraidd normedig o'r Saesneg "inner product space, normed vector space". Gallwch helpu trwy safoni'r termau.