Theorem gwerth-cymedrig

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Ar gyfer unrhyw ffwythiant sy'n ddi-dor ar ac yn ddifferadwy ar mae yna ryw yn y cyfwng fel bod y secant sy'n ymuno pwyntiau terfyn y cyfwng yn baralel i'r tangiad yn .

Mewn mathemateg, mae'r theorem gwerth-cymedrig yn nodi, yn fras, os rhoddir arc blanar rhwng dau bwynt terfyn, bodolir o leiaf un pwynt lle mae'r tangiad i'r arc yn baralel i'r secant trwy ei bwyntiau terfyn.

Yn fanwl gywir, os yw yn ffwythiant di-dor ar gyfwng caeedig, ac yn ddifferadwy ar y cyfwng agored , yna mae pwynt yn bodoli o fewn fel bod y tangiad yn c yn baralel i'r llinell secant trwy'r pwyntiau terfyn ac , hynny yw,

Mae'n un o'r canlyniadau pwysicaf mewn dadansoddiad real.

Hanes[golygu | golygu cod y dudalen]

Disgrifiwyd achos arbennig o’r theorem hon yn gyntaf gan Parameshvara (1370–1460), o Ysgol Seryddiaeth a Mathemateg Kerala yn India, yn ei sylwebaethau ar Govindasvāmi a Bhāskara II.[1] Profwyd ffurf gyfyngedig o'r theorem gan Michel Rolle ym 1691; y canlyniad oedd yr hyn a elwir bellach yn theorem Rolle, ac fe'i profwyd ar gyfer polynomialau yn unig, heb dechnegau calcwlws. Cafodd y theorem gwerth-cymedrig yn ei ffurf fodern ei nodi a'i brofi gan Augustin Louis Cauchy ym 1823.[2]

Datganiad ffurfiol[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r ffwythiant yn cyflawni graddiant y secant rhwng a fel ei deilliad ar y pwynt .
Mae hefyd yn bosibl bod mwy nag un tangiad yn baralel i'r secant.

Gadewch i bod yn ffwythiant di-dor ar y cyfwng caeedig , ac yn ddifferadwy ar y cyfwng agored , lle. Yna bodolir rhyw o fewn fel bod

Mae'r theorem gwerth-cymedrig yn cyffredinoli theorem Rolle, sydd â'r dybiaeth bod , hynny yw bod ochr dde'r mynegiant uchod yn sero.

Mae'r theorem gwerth-cymedrig yn dal i fod yn ddilys mewn lleoliad ychydig yn fwy cyffredinol. Nid oes ond angen tybio hynny yn barhaus ar, a hynny am bob yn y terfyn

Mae'r mynegiant yn rhoi graddiant y llinell sy'n ymuno'r pwyntiau ac , sy'n gord i graff . Mae yn rhoi graddiant y tangiad i'r gromlin yn y pwynt . Felly mae'r theorem gwerth-cymedrig yn dweud, o ystyried unrhyw gord cromlin esmwyth, y gallwn ddod o hyd i bwynt sy'n gorwedd rhwng diweddbwyntiau'r cord fel bod y tangiad ar y pwynt hwnnw yn baralel i'r cord.

Prawf[golygu | golygu cod y dudalen]

Diffiniwch , lle mae yn gysonyn. Gan fod yn ddi-dor ar ac yn ddifferadwy ar , mae'r un peth yn wir am . Rydyn ni nawr eisiau dewis fel bod yn bodloni amodau theorem Rolle, sef

O theorem Rolle, gan fod yn ddifferadwy ac mae , mae yna bodoler rhyw o fewn lle mae . Mae'n dilyn o'r hafaliad bod,

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara, MacTutor History of Mathematics archive.
  2. Ádám Besenyei. "Historical development of the mean value theorem" (PDF).