Infolytedd

Ffwythiant $f:X\to X$ yw infolytedd. Pan gaiff ei weithredu ddwywaith, daw'n ôl i'r man cychwyn.

Mewn mathemateg, mae infolytedd yn ffwythiant a ddynodir fel f, sy'n wrthdro ohono'i hun,

f(f(x)) = x

ar gyfer pob x yn y parth f.

Mae'r term "gwrth-infolytedd" yn cyfeirio at infolyteddau a seiliwyd ar wrth-homomorffeddau

f(xy) = f(y) f(x)

fel bod

xy = f(f(xy)) = f( f(y) f(x) ) = f(f(x)) f(f(y)) = xy.

Nodweddion cyffredinol

Mae pob infolytedd yn ddeudafl (bijection).

Ymhlith yr enghreifftiau pwysicaf mae:

• lluosi gyda -1, mewn rhifyddeg
• cymryd cilyddion
• cyflenwadau yn y ddamcaniaeth setiau a ffurfdroadau
• gwrthroad cylch
• hanner tro

Canfyddwyd niferoedd yr infolyteddau e.e.mewn set gyda'r elfennau n = 0, 1, 2, ... gan Heinrich Awst Rothe yn 1800, ac mae'n cael ei roi gan berthynas ddychweliadol (recurrence relation):

a₀ = a₁ = 1;

a_n = a_{n − 1} + (n − 1)a_{n − 2}, am n > 1.

Mae'r dilyniant yn cychwyn: 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (dilyniant A000085 yn y OEIS), a chyfeirir ati fel "rhifau ffôn". Mae cyfansoddiad (y ffwythiant) g ∘ f dau infolytedd f ac g yn infolytedd os a dim ond os ydynt yn cyfnewid (commute): g ∘ f = f ∘ g.

Mae gan infolytedd pob odrif o bob elfen o leiaf un pwynt sefydlog. Yn fwy cyffredinol, gellir dweud: ar gyfer infolyteddau ar set meidraidd o elfennau, mae gan nifer yr elfennau a nifer y pwyntiau sefydlog yr un paredd.

Cyn-galcwlws

Enghreifftiau elfennol o infolyteddau yw'r ffwythiannau:

$f_{1}(x)=-x$,   or   $f_{2}(x)={\frac {1}{x}}$, yn ogystal a'u cyfansoddiad $(f_{1}\circ f_{2})(x)=(f_{2}\circ f_{1})(x)=f_{3}(x)=-{\frac {1}{x}}.$

ond nid y rhain yw'r unig infolyteddau cyn-galcwlws. Dyma enghraifft arall, gyda phositif real:

$f(x)=\ln \left({\frac {e^{x}+1}{e^{x}-1}}\right).$