Hafaliad Laplace

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

Mewn mathemateg, hafaliad differol rhannol yw hafaliad Laplace. Fe'i enwyd ar ol Pierre-Simon Laplace, a'i dargynfyddodd. Mae datrysiadau'r hafaliad yn bwysig mewn sawl maes gwyddonol (electromagneteg, seryddiaeth, a dynameg hylifau er enghraifft), am eu bod yn disgrifio ymddygiad potensialau trydanol, disgyrchol a hylifol.

Diffiniad[golygu]

Mewn tri dimensiwn, y broblem yw i ganfod ffwythiannau \varphi o newidynnau real x, y, a z, fel y gellid differu \varphi dwywaith, a'u bod yn bodloni'r hafaliad:


{\partial^2 \varphi\over \partial x^2 } +
{\partial^2 \varphi\over \partial y^2 } +
{\partial^2 \varphi\over \partial z^2 } = 0.

Ysgrifennir hyn yn aml fel hyn:

\nabla^2 \varphi = 0

neu

\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi = 0,

neu

\Delta \varphi = 0

lle dynoda Δ y gweithredydd Laplace.

Fe gelwir datrysiadau i'r hafaliad yn ffwythiannau harmonig.

Os roddir ffwythiant ansero f(x, y, z)ar ochr dde'r hafaliad, hynny yw:

\Delta \varphi = f

yna gelwir yr hafaliad yn hafaliad Poisson. Hafaliad Laplace a hafaliad Poisson yw'r enghreifftiau symlaf o hafaliad differol eliptig. Gelwir y gweithredydd differol \nabla^2 neu \Delta (a gellid ei diffinio mewn unrhyw nifer o ddimensiynau) yn weithredydd Laplace.

Amodau ffin[golygu]

Y broblem Dirichlet ar gyfer hafaliad Laplace yw i ganfod datrysiad \varphi ar ryw barth D sydd â \varphi yn hafal i ffwythiant neilltuol ar ffin D. Gan fod y gweithredydd Laplace yn ymddangos yn yrhafaliad gwres, mae'n bosib rhoi dehongliad ffisegol fel a ganlyn: pennwch y dymheredd ar ffin y parth, ac yna disgwyl tan fod tymheredd wedi peidio â newid; yna fe fydd tymheredd y mewnedd yn ddatrysiad i'r broblem Dirichlet cyfatebol.

Mae amodau ffin Neumann ar gyfer yr hafaliad yn pennu'r differiad normal \varphi ar D, yn hytrach na gwerth \varphi ei hun. Yn ffisegol, mae hyn yn cyfateb i lunio potensial ar gyfer maes fectoraidd, lle dim ond ar ffin D y gwyddys effaith y potensial.

Mae ffwythiannau harmonig (hynny yw, datrysiadau i hafaliad Laplace) yn ddadansoddol o fewn y parth lle mae'r hafaliad yn cael ei bodloni. Fel gydag unrhyw hafaliad differol llinol homogenaidd, os mae dau ffwythiant y ddatrysiadau i hafaliad Laplace, yna mae eu swm (neu unrhyw gyfuniad llinol ohonynt am hynny) yn ddatrysiad yn ogystal.