Differu

Graff o ffwythiant mewn du, a llinell tangiad y ffwythiant mewn coch. Mae graddiant y llinell tangiad yn gyfartal â differiad y ffwythiant ar y pwynt sydd wedi ei farcio.

Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (x, f(x)).

Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

Diffiniad

Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddys eisoes fod graddiant y llinell syth, y = mx + c, yn hafal i newid mewn y wedi ei rannu gan newid mewn x; Δy/Δx = m. Fe wyddys hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx yr agosaf y mae Δy/Δx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn anfeidrol o fach, mae Δy/Δx yn hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx pan fo Δy/Δx yn agosáu at 0:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

Gan fod y = f(x), gellir canfod ffwythiant y graddiant, y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

$f'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Enghraifft

Wrth ddiferu'r ffwythiant, $f(x)\! = x^2$, ceir:

$\begin{align} f'(x) &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x + (\Delta x)^2-x^2 }{\Delta x} \\ &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}2x + \Delta x \\ &{}=2x \end{align}$

Gwyddom yn awr fod f ' (x) = 2x, ac felly gallwn ganfod graddiant y gromlin ar unrhyw bwynt. Er enghraifft, y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f ' (4) = 2 × 4 = 8.

Differiadau cyffredin

Mae polynomial yn enghraifft o ffwythiant â ffurf syml o'i ddifferiad. Os rhoddir y ffwythiant gan:

$y ={x^{n}}$

rhoddir y differiad gan:

$\frac{dy}{dx} ={nx^{n-1}}$

Ffwythiant "ln" (logarithm naturiol) yw enghraifft arall. Ar gyfer y ffwythiant:

$y = \ln x$

rhoddir y differiad gan:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}$

Yn ôl y "rheol cadwyn", os mae y yn dibynnu ar u ac mae u yn dibynnu ar x:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx}$

er enghraifft, os:

$y = (\ln x)^{n}$

ceir ei ddifferu fel:

$\frac{dy}{dx} = {n (\ln x)^{n-1} \left(\frac{1}{x}\right)}$

Dolenni allanol

• Cyfrifiannell Ffwythiant WIMS sy'n cyfrifo'r difer ar-lein; mae'r meddalwedd yn galluogi ymarferion rhyngweithiol.
• Cyfrifiannell gwahaniaethu.
• Cyfrifiannell Differu ar-lein.
• "Mathematical Assistant on Web" Cyfrifiannell Differu ar-lein, gan gynnwys eglurhad o'r ateb.
• Proving Derivatives from First Principles.
• Practice finding derivatives of randomly generated functions

Eginyn erthygl sydd uchod am fathemateg. Gallwch helpu Wicipedia drwy ychwanegu ato