Differu

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio
Graff o ffwythiant mewn du, a llinell tangiad y ffwythiant mewn coch. Mae graddiant y llinell tangiad yn gyfartal â differiad y ffwythiant ar y pwynt sydd wedi ei farcio.
Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (x, f(x)).

Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw differu. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

Diffiniad[golygu]

Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth, y = mx + c, yn hafal i newid mewn y wedi ei rannu gan newid mewn x; Δyx = m. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond y sy'n ffwythiant o x, mae graddiant y gromlin y = f(x) yn ffwythiant o x hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (x,y) ac (x + Δx, y + Δy). Po leiaf yw Δx yr agosaf y mae Δyx at y graddiant ar y pwynt (x,y), a phan fo Δx yn agosáu at 0, mae Δyx yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (x,y). Y differiad yw'r terfyn (lim) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant dy/dx i'w symboleiddio:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(y + \Delta y)-y}{(x + \Delta x)-x} =\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

Gan fod y = f(x), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(x), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

f'(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

Enghraifft[golygu]

Wrth ddiferu'r ffwythiant, f(x)\! = x^2, ceir:

\begin{align}
f'(x) &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0 }\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\
      &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{x^2+2x\Delta x + (\Delta x)^2-x^2 }{\Delta x} \\
      &{}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}(2x + \Delta x) \\
      &{}=2x
\end{align}

Hynny yw, wrth i Δx agosáu at 0, mae (2x + Δx) yn agosáu at derfyn o 2x. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(x) = x2 yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnod x y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.

Differiadau cyffredin[golygu]

Ffwythiannau cyffredin[golygu]

Isod gweler rhestr o ddifferiadau'r ffwythiannau a ddefnyddir fynychaf mewn calcwlws:

\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}


\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}


\frac{d}{dx}e^x = e^x


\frac{d}{dx}\sin x = \cos x


\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x


\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x


\frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ \ln a}


\frac{d}{dx}a^x = a^x\ \ln a

Rheolau cyffredinol[golygu]

Mae hefyd ar gael reolau cyffredinol er mwyn hwyluso'r broses o gyfrifo differiadau cymhleth:

  • Rheol adio:
\frac{d}{dx}(f(x) + g(x)) = f'(x) + g'(x)


  • Rheol lluosi:
\frac{d}{dx}(f(x)\ g(x)) = f'(x)\ g(x) + g'(x)\ f(x)


  • Rheol cadwyn:
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x))\ g'(x)

Nodiant[golygu]

Dolenni allanol[golygu]