Hafaliadau Cauchy–Riemann

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Darlun gweledol o fector X mewn parth: * yn cael ei luosi â rhif cymhlyg z, yna ei fapio ag f, * yn cael ei fapio â f yna ei luosi â z wedi hynny. Os yw'r ddau o'r rhain yn cymryd y pwynt i'r un lle ar gyfer pob X a z, yna mae f yn bodloni'r amod Cauchy-Riemann.

Ym maes dadansoddi cymhlyg o fewn mathemateg, mae'r hafaliadau Cauchy-Riemann, a enwir ar ôl Augustin Cauchy a Bernhard Riemann, yn cynnwys system o ddau hafaliad differol rhannol sydd, ynghyd â meini prawf penodol ar gyfer di-doredd a differadwyedd, yn ffurfio amod angenrheidiol a digonol ar gyfer a ffwythiant cymhlyg i fod yn gymhlyg differadwy, hynny yw, yn holomorffig. Ymddangosodd y system hafaliadau yma'n gyntaf yng ngwaith Jean le Rond d'Alembert[1]. Yn ddiweddarach, cysylltodd Leonhard Euler y system hon â'r ffwythiannau dadansoddol[2]. Yna defnyddiodd Cauchy yr hafaliadau hyn i lunio ei theori ffwythiannau[3]. Ymddangosodd traethawd hir Riemann ar theori ffwythiannau ym 1851[4].

Yr hafaliadau Cauchy-Riemann ar bâr o ffwythiannau gwerth-real dau newidyn real u(x, y) a v(x, y) yw'r ddau hafaliad:

Fel arfer cymerir u a v i fod y rhannau real a dychmygol yn y drefn honno o ffwythiant cymhlyg â gwerth newidyn cymhlyg sengl z = x + iy, f(x + iy) = u(x,y) + iv(x,y). Tybiwch fod u ac v yn nifferadwy-real ar bwynt mewn is-set agored o ℂ, y gellir ei ystyried yn ffwythiannau o ℝ2 i ℝ. Mae hyn yn awgrymu bod deilliadau rhannol u ac v yn bodoli (er nad oes angen iddynt fod yn ddi-dor) a gallwn amcangyfrif amrywiadau bach o f yn llinol. Yna mae f = u + iv yn nifferadwy-cymhlyg ar y pwynt hwnnw os ac yn unig os yw deilliadau rhannol u a v yn bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann (1a) ac (1b) ar y pwynt hwnnw. Nid yw fodolaeth deilliadau rhannol sy'n bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann yn unig yn ddigon i sicrhau differadwyedd-cymhlyg ar y pwynt hwnnw. Mae'n angenrheidiol bod u ac v yn nifferadwy-real, sy'n gyflwr cryfach na bodolaeth y deilliadau rhannol, ond yn gyffredinol, yn wannach na differadwyedd di-dor.

Mae holomorffedd yn briodwedd ffwythiant cymhlyg gan ei fod yn ddifferadwy ym mhob pwynt o is-set agored gysylltiedig o ℂ (gelwir hyn yn barth yn ℂ). O ganlyniad, gallwn ddweud bod ffwythiant cymhlyg f, y mae ei rhannau real a dychmygol u ac v yn ffwythiannau differadwy real, yn holomorffig os a dim ond os yw hafaliadau (1a) ac (1b) wedi'u bodloni trwy gydol y parth. Mae ffwythiannau holomorffig yn ddadansoddol ac mae ffwythiannau dadansoddol yn holomorffig. Mae hyn yn golygu, mewn dadansoddiad cymhlyg, bod ffwythiant sy'n differadwy-cymhlyg dros barth cyfan (holomorffig) yr un peth â ffwythiant dadansoddol. Nid yw hyn yn wir am ffwythiannau real.

Enghraifft syml[golygu | golygu cod y dudalen]

Tybiwch fod . Mae'r ffwythiant gwerth cymhlyg yn nifferadwy ar unrhyw bwynt z yn y plân cymhlyg.

Y rhannau real a ddychmygol yw

ac mae eu deilliadau rhannol yn

Gwelwn fod yr hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni, yn wir, a

Dehongliad[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r hafaliadau yn un ffordd o edrych ar yr amod ar ffwythiant i fod yn nifferadwy yn yr ystyr ddadansoddiad cymhlyg: mewn geiriau eraill maent yn crynhoi'r syniad o ffwythiant gwerth cymhlyg trwy gyfrwng calcwlws differol confensiynol.

Tybiwch fod

yn ffwythiant o rif cymhlyg z. Yna diffinnir deilliad cymhlyg f ar bwynt z0 gan

yn amodol bod y terfan hwn yn bodoli.

Os yw'r terfyn hwn yn bodoli, yna gellir ei gyfrifo trwy gymryd y terfan wrth i h → 0 ar hyd yr echelin real neu'r echelin ddychmygol; yn y naill achos neu'r llall, dylai roi'r un canlyniad. Wrth agosáu ar hyd yr echelin real, darganfyddwn fod

Ar y llaw arall, wrth agosáu ar hyd yr echelin ddychmygol,

Hafaliad deilliad f a gymerir ar hyd y ddwy echelin yw

sef hafaliadau Cauchy-Riemann (2) ar y pwynt z0.

I'r gwrthwyneb, os yw f : ℂ → ℂ yn ffwythiant y gellir ei differu wrth gael ei hystyried fel ffwythiant ar ℝ2, yna mae f yn nifferadwy-cymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni. Mewn geiriau eraill, os yw u ac v yn ffwythiannau differol real o ddau newidyn real, yn amlwg mae u + iv yn ffwythiant (gwerth cymhlyg) differadwy-real, ond mae u + iv yn nifferadwy-gymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi'u bodloni.

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Alembert, Jean Le Rond d', 1717-1783. (1752). Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides. chez Claude-Antoine Jombert. OCLC 1172099239.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  2. Ménétriés, E.; Schaus, William (1855). Enumeratio corporum animalium Musei imperialis Academiae scientiarum Petropolitanae : Classis insectorum, ordo lepidopterorum. Petropoli :: Typis Academiae scientiarum imperialis,.CS1 maint: extra punctuation (link)
  3. Cauchy, Augustin-Louis, "MÉMOIRE SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES", Oeuvres complètes (Cambridge University Press): pp. 329–335, ISBN 978-0-511-70217-4, http://dx.doi.org/10.1017/cbo9780511702174.011, adalwyd 2020-09-30
  4. Riemann, Bernhard, "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen eiuer veränderlichen complexen Grösse. (Inauguraldissertation, Göttingen 1851.)", Bernard Riemann's Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass (Cambridge University Press): pp. 3–47, ISBN 978-1-139-56805-0, http://dx.doi.org/10.1017/cbo9781139568050.002, adalwyd 2020-09-30

Dolenni allanol[golygu | golygu cod y dudalen]