Parth y ffwythiant

Diagram o'r ffwythiant f' o'r parth pinc X i'r cyd-barth Y. Mae'r hirgrwn melyn o fewn Y yn dynodi delwedd o f. Gelwir y ddau, y cyd-barth a'r ddelwedd, weithiau'n "yr amrediad o f".

O fewn y ddamcaniaeth setiau anffurfiol (mewn mathemateg), parth y ffwythiant neu'n syml, parth, yw'r set o fewnbynnau neu werthoedd argiau (argument values) sy'n diffinio'r ffwythiant. Hynny yw, mae'r ffwythiant yn darparu allbwn neu werth ar gyfer aelod o'r parth. O droi hyn ar ei sawdl: mae'r set o werthoedd mae'r ffwythiant yn ei gymryd fel allbwn yn cael ei alw'n "ddelwedd o'r ffwythiant", sydd weithiau'n cael ei alw fel "amrediad y ffwythiant".

Er enghraifft, parth cosin yw'r set o bob rhif real; ond, dim ond y rhifau sy'n fwy na sero neu'n hafal i sero yw parth yr ail isradd, (gan anwybyddu rhifau cymhlyg yn y ddwy achos yma).

Os yw parth y ffwythiant yn is-set o rifau real, a bod y ffwythiant yn cael ei gynrychioli mewn system gyfesurynnol Cartesaidd, yna cynrychiolir y parth ar echelin-x.

Diffiniad ffurfiol

Os yw ffwythiant $f\colon X\to Y$, yna'r set $X$ yw parth $f$; y set $Y$ yw cyd-barth $f$. Yn y mynegiant $f(x)$, $x$ yw'r ymresymiad a $f(x)$ yw'r gwerth. Gellir ystyried yr ymresymiad fel aelod o'r parth a ddewisir yn "fewnbwn" i'r ffwythiant, a'r gwerth yn "allbwn" pan gymhwsir y ffwythiant i'r aelod hwnnw o'r parth.

Delwedd (neu amrediad) $f$ yw'r set o bob gwerth, a dybir gan $f$ am bob $x$ posib; dyma'r set $\left\{f(x)|x\in X\right\}$. Gall delwedd $f$ fod yr un set a'r cyd-barth neu gall fod yn set briodol (proper subset) ohoni. Mae fel arfer yn llai na'r cyd-barth; hi yw'r cyd-barth os a dim ond os yw $f$ yn ffwythiant ardafliadol (surjective function).

Mae diffiniad da o ffwythiant yn mapio pob elfen o'i barth i elfen o'i gyd-barth. Er enghraifft, nid oes gan y ffwythiant $f$ sy'n cael ei ddiffinio gan

$f(x)={\frac {1}{x}}$

unrhyw werth ar gyfer $f(0)$. Felly, ni all y set o bob rhif real, $\mathbb {R}$, fod yn barth iddi. Mewn achosion fel hyn diffinnir y ffwythiant naill ai fel $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ neu drwy ddiffinio $f(0)$ yn fwy penodol.

O ymestyn y diffiniad o $f$ i

$f(x)={\begin{cases}1/x&x\not =0\\0&x=0\end{cases}}$

yna diffinnir f ar gyfer pob rhif real, a'i barth yw $\mathbb {R}$.

Gellir cyfyngu unrhyw ffwythiant i is-set o'i barth. Ysgrifennir y cyfyngiad $g\colon A\to B$ i $S$, lle mae $S\subseteq A$, fel $\left.g\right|_{S}\colon S\to B$.