Polynomial

Mewn mathemateg, mae polynomial yn fynegiant lle mae cysonion a newidynnau yn cael eu cyfuno trwy adio, tynnu, a lluosi yn unig. Felly, mae

$2x^{2}yz^{3}-3y^{2}+5yz-2\,$

yn bolynomial, ond nid yw

${1 \over x^{2}+1}\,$

yn bolynomial.

Mae ffwythiant polynomaidd yn ffwythiant a ddiffinir trwy werthuso polynomial. Mae ffwythiannau polynomaidd yn ddosbarth pwysig o ffwythiannau esmwyth (hynny yw, ffwythiannau y gallem eu differu unrhyw nifer o weithiau).

Oherwydd eu strwythr syml, mae'n hawdd gwerthuso polynomialau, ac fe'u defnyddir yn aml i ddadansoddi'n rhifyddol wrth astudio ffwythiannau mwy cymhleth.

Polynomialau Algebreaidd haniaethol

Mewn algebra haniaethol, rhaid gwahaniaethu'n ofalus rhwng polynomialau a ffwythiannau polynomaidd. Diffinir polynomial f fel mynegiant ffurfiol ar ffurf

$f=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}$

lle mae'r cyfernodau a₀, ..., a_n yn elfennau o ryw fodrwy R, ac ystyrir X yn symbol ffurfiol. Mae dau bolynomial yn hafal os, a dim ond os, yw dilyniannau eu cyfernodau yn hafal. Gellir adio polynomialau, trwy adio'r cyfernodau cyfatebol yn R, a'u lluosi trwy ddefnyddio'r rheol dosraniadol a'r diffiniadau

$X\;a=a\;X$

  ar gyfer pob elfen a o'r fodrwy R

$X^{k}\;X^{l}=X^{k+l}$

  ar gyfer rhifau naturiol k ac l.

Gellir gwirio fod y set o bolynomialau a chanddynt gyfernodau yn y fodrwy R yn fodrwy ei hunan, sef y fodrwy o bolynomialau dros R, a ysgrifennir R[X]. Os yw R yn gymudol, yna mae R[X] yn algebra dros R.

Gallwn ystyried fod R[X] yn deillio o R trwy ychwanegu elfen X i R a'r unig amod ar X yw ei fod yn cymudo â phob elfen o R. Er mwyn i R[X] ffurfio modrwy, rhaid cynnwys hefyd pob sỳm o bwerau o X. Mae ffurfio'r fodrwy bolynomaidd, ynghyd â ffurfio modrwyon cymhareb trwy ffactorio'r idealau allan, yn arfau pwysig at ffurfio modrwyon newydd.

I bob polynomial f yn R[X], gellir diffinio ffwythiant polynomaidd sydd â pharth ac amrediad R. Canfyddir allbwn y ffwythiant ar gyfer mewnbwn r trwy roi r yn lle X yn y mynegiant f. Mae'n rhaid i algebryddion wahaniaethu rhwng polynomialau a ffwythiannau polynomaidd, oherwydd bod dau wahanol bolynomial yn gallu ennyn ar yr un ffwythiant (er enghraifft, os yw'r polynomialau dros gorff meidraidd). Nid yw hyn yn wir am y rhifau real neu gymhlyg, felly yn aml nid yw dadansoddwyr yn gwahaniaethu rhwng y ddau gysyniad.