Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n defnyddiol mewn sawl sefyllfa gwahanol yw anhafaledd Cauchy–Schwarz, (hefyd anhafaledd Schwarz, Anhafaledd Cauchy, neu Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn:

(a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n)^2 \le (a_1^2 + \cdots + a_n^2) (b_1^2 + \cdots + b_n^2).

Mae'r ddau ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

\frac {a_1}{b_1} = \frac {a_2}{b_2} = \cdots = \frac {a_n}{b_n}.

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud fod

|\langle x,y\rangle|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle.

ar gyfer unrhyw elfennau x ac y o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Y mae'r dau ochr yn hafal os, a dim ond os y mae x ac y yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nid yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae o felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig o anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm:

 |\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|.\,

Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf[golygu]

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae y = 0, fe gawn gymryd fod <y, y> yn an-sero. Gadewch i  \lambda fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

 0 \leq \left\| x-\lambda y \right\|^2
= \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle = \langle x,x \rangle - \bar{\lambda} \langle x,y \rangle - \lambda \langle y,x \rangle + |\lambda|^2 \langle y,y\rangle.

Gan ddewis

 \lambda = \langle x,y \rangle \cdot \langle y,y \rangle^{-1}

gwelwn fod

 0 \leq \langle x,x \rangle - |\langle x,y \rangle|^2 \cdot \langle y,y \rangle^{-1}

sy'n wir os, a dim ond os y mae

 |\langle x,y \rangle|^2 \leq \langle x,x \rangle \cdot \langle y,y \rangle

hynny yw:

 \big| \langle x,y \rangle \big|
\leq \left\|x\right\| \left\|y\right\|,

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig[golygu]

Rn[golygu]

Mewn gofod Ewclidaidd Rn, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

\left(\sum_{i=1}^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right) \left(\sum_{i=1}^n y_i^2\right).

L2[golygu]

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

\left|\int f(x) \overline{g}(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx.

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

Defnydd[golygu]

Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau x ac y,

\|x + y\|^2 = \langle x + y, x + y \rangle
= \|x\|^2 + \langle x, y \rangle + \langle y, x \rangle + \|y\|^2
\le \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2
\le \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2
= \left(\|x\| + \|y\|\right)^2

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

Cyffredinoliadau[golygu]

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.

Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: gofod lluoswm mewnol, gofod fectoraidd normedig o'r Saesneg "inner product space, normed vector space". Gallwch helpu trwy safoni'r termau.