Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Anhafaledd Cauchy-Schwarz

Enghraifft o'r canlynol	theorem
Math	triangle inequality

Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw anhafaledd Cauchy–Schwarz, (hefyd anhafaledd Schwarz, Anhafaledd Cauchy, neu Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn:

$(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+\cdots +a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+\cdots +b_{n}^{2}).$

Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

${\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}}=\cdots ={\frac {a_{n}}{b_{n}}}.$

Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .$

ar gyfer unrhyw elfennau x ac y o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os mae x ac y yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm:

$|\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,$

Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae y = 0, fe gawn gymryd fod <y, y> yn an-sero. Gadewch i $\lambda$ fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

$0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .$

Gan ddewis

$\lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$

gwelwn fod

$0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}$

sy'n wir os, a dim ond os y mae

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle$

hynny yw:

${\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|,$

Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig

Rⁿ

Mewn gofod Ewclidaidd Rⁿ, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

$\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right).$

L²

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

$\left|\int f(x){\overline {g}}(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.$

Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

Defnydd

Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau x ac y,

$\|x+y\|^{2}$	$=\langle x+y,x+y\rangle$
	$=\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}$
	$\leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}$
	$\leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}$
	$=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}$

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

Cyffredinoliadau

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.