Theorem pwynt sefydlog Banach

Oddi ar Wicipedia
(Ailgyfeiriad oddi wrth Theorem pwynt arhosol Banach)
Jump to navigation Jump to search

Mae theorem pwynt sefydlog Banach (hefyd theorem mapiadau cyfangiadol neu egwyddor mapiadau cyfangiadol) yn ddyfais bwysig mewn haniaeth gofodau metrig; mae'n sicrhau bodolaeth ac unigrywiaeth pwyntiau sefydlog[1] ffwythiannau arbennig o ofodau metrig, ac yn rhoi dull o ganfod y pwyntiau hynny. Enwyd y theorem ar ôl Stefan Banach (1892-1945), ac fe'i mynegwyd yn gyntaf ganddo ym 1922.

Y theorem[golygu | golygu cod y dudalen]

Gadewch i (X, d) fod yn ofod metrig cyflawn. Gadewch i T : XX fod yn ffwythiant cyfangiadol ar X, hynny yw: mae yna rhif real q nad yw'n negatif sy'n bodlonni

ar gyfer pob x ac y in X. Yna, mae gan y ffwythiant T bwynt sefydlog unigryw x* mewn X (golyga hyn fod Tx* = x*). Ymhellach, gellir canfod y pwynt sefydlog fel a ganlyn: cychwynwch gydag elfen mympwyol x0 o X, a diffiniwch dilyniant iterus gyda xn = Txn-1 ar gyfer n = 1, 2, 3, ... Mae'r dilyniant hwn yn cydgyfeirio, a'i derfan yw x*.

Mae'r anhafaledd canlynol yn disgrifio cyflymder y cydgyfeiriad:

.

Yn gyfystyr, mae

a

.

Fe gelwir y q lleiaf posib o'r fath yn gysonyn Lipschitz.

Noder fod y gofyniad fod d(Tx, Ty) < d(x, y) ar gyfer x ac y yn anhafal, yn annigonol i sicrhau bodolaeth pwynt sefydlog, fel ddengys y ffwythiant T : [1,∞) → [1,∞) gyda T(x) = x + 1/x, sydd heb bwynt sefydlog. Fodd bynnag, os y mae'r gofod X yn gryno, yna mae'r gofyniad gwanach hwn yn ddigonol ar gyfer canlyniadau'r theorem.

Wrth ddefnyddio'r theorem yn ymarferol, y darn anoddaf yn aml yw i ddiffinio'r ffwythiant X fel fod T yn mapio elfennau o X i X, hynny yw, fod Tx pob tro'n elfen o X.

  1. geiriadur.bangor.ac.uk; Y Termiadur Addysg - Ffiseg a Mathemateg; adalwyd 20 Rhagfyr 2018.