Theorem pwynt arhosol Banach

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search

Mae theorem pwynt arhosol Banach (hefyd theorem mapiadau cyfangiadol neu egwyddor mapiadau cyfangiadol) yn arf pwysig mewn haniaeth gofodau metrig; mae'n sicrhau bodolaeth ac unigrwydd pwyntiau arhosol ffwythiannau arbennig o ofodau metrig, ac yn rhoi dull o ganfod y pwyntiau hynny. Enwyd y theorem ar ôl Stefan Banach (1892-1945), ac fe'i mynegwyd yn gyntaf ganddo ym 1922.

Y theorem[golygu | golygu cod y dudalen]

Gadewch i (X, d) fod yn ofod metrig cyflawn. Gadewch i T : XX fod yn ffwythiant cyfangiadol ar X, hynny yw: mae yna rhif real q nad yw'n negatif sy'n bodlonni

ar gyfer pob x ac y in X. Yna, mae gan y ffwythiant T bwynt arhosol unigryw x* mewn X (golyga hyn fod Tx* = x*). Ymhellach, gellir canfod y pwynt arhosol fel a ganlyn: cychwynwch gydag elfen mympwyol x0 o X, a diffiniwch dilyniant iterus gyda xn = Txn-1 ar gyfer n = 1, 2, 3, ... Mae'r dilyniant hwn yn cydgyfeirio, a'i derfan yw x*.

Mae'r anhafaledd canlynol yn disgrifio cyflymder y cydgyfeiriad:

.

Yn gyfystyr, mae

a

.

Fe gelwir y q lleiaf posib o'r fath yn gysonyn Lipschitz.

Noder fod y gofyniad fod d(Tx, Ty) < d(x, y) ar gyfer x ac y yn anhafal, yn annigonol i sicrhau bodolaeth pwynt arhosol, fel ddengys y ffwythiant T : [1,∞) → [1,∞) gyda T(x) = x + 1/x, sydd heb bwynt arhosol. Fodd bynnag, os y mae'r gofod X yn gryno, yna mae'r gofyniad gwanach hwn yn ddigonol ar gyfer canlyniadau'r theorem.

Wrth ddefnyddio'r theorem yn ymarferol, y darn anoddaf yn aml yw i ddiffinio'r ffwythiant X fel fod T yn mapio elfennau o X i X, hynny yw, fod Tx pob tro'n elfen o X.

Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: pwynt arhosol, gofod cyflawn, gofod cryno o'r Saesneg "fixed point, complete space, compact space". Gallwch helpu trwy safoni'r termau.