Theorem pwynt sefydlog Banach

Mae theorem pwynt sefydlog Banach (hefyd theorem mapiadau cyfangiadol neu egwyddor mapiadau cyfangiadol) yn ddyfais bwysig mewn haniaeth gofodau metrig; mae'n sicrhau bodolaeth ac unigrywiaeth pwyntiau sefydlog ffwythiannau arbennig o ofodau metrig, ac yn rhoi dull o ganfod y pwyntiau hynny. Enwyd y theorem ar ôl Stefan Banach (1892-1945), ac fe'i mynegwyd yn gyntaf ganddo ym 1922.

Y theorem

Gadewch i (X, d) fod yn ofod metrig cyflawn. Gadewch i T : X → X fod yn ffwythiant cyfangiadol ar X, hynny yw: mae yna rhif real q nad yw'n negatif sy'n bodlonni

$d(Tx,Ty)\leq q\cdot d(x,y)$

ar gyfer pob x ac y in X. Yna, mae gan y ffwythiant T bwynt sefydlog unigryw x^* mewn X (golyga hyn fod Tx^* = x^*). Ymhellach, gellir canfod y pwynt sefydlog fel a ganlyn: cychwynwch gydag elfen mympwyol x₀ o X, a diffiniwch dilyniant iterus gyda x_n = Tx_n-1 ar gyfer n = 1, 2, 3, ... Mae'r dilyniant hwn yn cydgyfeirio, a'i derfan yw x^*.

Mae'r anhafaledd canlynol yn disgrifio cyflymder y cydgyfeiriad:

$d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})$.

Yn gyfystyr, mae

$d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})$

a

$d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*})$.

Fe gelwir y q lleiaf posib o'r fath yn gysonyn Lipschitz.

Noder fod y gofyniad fod d(Tx, Ty) < d(x, y) ar gyfer x ac y yn anhafal, yn annigonol i sicrhau bodolaeth pwynt sefydlog, fel ddengys y ffwythiant T : [1,∞) → [1,∞) gyda T(x) = x + 1/x, sydd heb bwynt sefydlog. Fodd bynnag, os mae'r gofod X yn gryno, yna mae'r gofyniad gwanach hwn yn ddigonol ar gyfer canlyniadau'r theorem.

Wrth ddefnyddio'r theorem yn ymarferol, y darn anoddaf yn aml yw i ddiffinio'r ffwythiant X fel fod T yn mapio elfennau o X i X, hynny yw, fod Tx pob tro'n elfen o X.