Ffwythiant cyfri rhifau cysefin

Oddi ar Wicipedia
Neidio i: llywio, chwilio

Mewn mathemateg, y ffwythiant cyfri rhifau cysefin yw'r ffwythiant sy'n rhoi nifer y rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal â rhyw rif real x. Fe'i dynodir gan (noder nad yw hyn yn cyfeirio i'r rhif π).

60 gwerth cyntaf π(n)

Hanes[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae cyfradd tyfiant y ffwythiant yn ddiddorol iawn yng nghyd-destyn haniaeth rhifau. Cynosododd Gauss a Legendre yn yr 18fed ganrif fod y cyfradd oddeutu

neu, a bod yn fanwl gywir, fod

Dyma yw'r theorem rhifau cysefin.

Algorithmau i ganfod π(x)[golygu | golygu cod y dudalen]

Ffordd syml o ganfod , os nad yw yn rhy fawr, yw defnyddio gogr Eratosthenes i gynhyrchu'r rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal ag , ac yna'u cyfri.

Ddaw ddull coethach o ganfod o du Legendre: cymerwn , os yw , …,  yn rhifau cysefin an-hafal, yna

yw nifer y cyfanrifau sy'n llai nag ac heb fod yn rhanadwy ag unrhyw (dynoda y ffwythiant llawr). Mae'r rhif hwn felly'n hafal â

lle mai yw'r rhifau cysefin sy'n llai nau neu'n hafal ag ail isradd .

Mewn cyfres o erthyglau a gyhoeddwyd rhwng 1870 a 1885, disgrifiodd Ernst Meissel dull cyfuniadol ymarferol o ganfod . Cymerwn mai , …,  yw'r rhif cysefin cyntaf, a dynodwn gyda nifer y rhifau naturiol sy'n llai na neu'n hafal ag nad ydynt yn rhanadwy ag unrhyw . Yna mae

Cymerwn rif naturiol : os mae a , yna mae

Estynnwyd a symleiddwyd y dull hwn gan Derrick Henry Lehmer ym 1959. Diffiniwn, am real ac a naturiol, yn nifer y rhifau msy'n llai na neu'n hafal ag n gyda'n union k o ffactorau cysefin, pob un yn fwy na . Ymhellach, gosodwn . Yna mae

lle dim ond nifer meidraidd o dermau an-sero sydd gan y swm. Gadewn i ddynodi cyfanrif sy'n bodlonni , and gosod . Yna mae a pan mae  ≥ 3. Felly mae

Gellir cyfrifo fel a ganlyn:

Yn ogystal, gellir cyfrifo gyda'r rheolau canlynol:

Anhafaleddau[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r canlynol yn anhafaleddau defnyddiol ar gyfer π(x).

ar gyfer x ≥ 17.
ar gyfer x > 1.
ar gyfer x ≥ 55.

Mae'r canlynol yn anhafaleddau ar gyfer yr nfed rhif cysefin, pn.

ar gyfer n ≥ 6.

Mae'n anhafaledd ar y chwith yn ddilys ar gyfer n ≥ 1 a'r un ar y dde ar gyfer n ≥ 6.

Mae

yn frasamcan ar gyfer yr nfed rhif cysefin.