Cyfres Fourier

Mewn mathemateg, mae cyfres Fourier yn ffordd o ddadansoddi ffwythiannau neu signalau cyfnodol i mewn i swm o sinau a chosinau.

Formiwla fourier ar gyfer ffwythiannau cyfnodol 2π

Ar gyfer ffwythiant cyfnodol ƒ(x) sy'n medru integru ar [−π, π], mae'r rhifau  :
$a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(nx)\, dx, \quad n \ge 0$

$b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(nx)\, dx, \quad n \ge 1$
yn cael ei alw'n cyfernodau fourier o ƒ. Cyfwlynwyd symiau rhannol y cyfres fourier ar gyfer ƒ, dynodwyd gan:  :$(S_N f)(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^N \, [a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)], \quad N \ge 0.$
Mae'r symiau rhannol ƒ yn bolynomialau trigonometrig.

Esiampl o gyfres fourier syml

Plot o ffwythiant cyfnodol

Y pump cyfres fourier rhannol cyntaf.

Defnyddiwn y fformiwla uchod i ddidwytho'r Cyfres Fourier. Ystyriwch ton dant llif:

$f(x) = x, \quad \mathrm{for } -\pi < x < \pi,$ :$f(x + 2\pi) = f(x), \quad \mathrm{for } -\infty < x < \infty.$
Yn yr achos yma rhoddir y cyfernodau gan:

$\begin{align} a_0 &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\,dx = 0. \\ a_n &{} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x \cos(nx)\,dx = 0, \quad n \ge 0. \\ b_n &{}= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx)\, dx = -\frac{2}{n}\cos(n\pi) + \frac{2}{\pi n^2}\sin(n\pi) = 2 \, \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad n \ge 1.\end{align}$

Gellir profi bod y cyfres yn cydgyfeirio i f(x) at bob pwynt x lle mae f yn medru cael ei ddifferu, felly:

$\begin{align} f(x) &= \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n\cos\left(nx\right)+b_n\sin\left(nx\right)\right] \\ &=2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx), \quad \mathrm{for} \quad x - \pi \notin 2 \pi \mathbf{Z}. \end{align}$

Pan mae x=π, mae'r cyfres Fourier yn cydgyfeirio i 0, sy'n hanner swm o'r terfyn chwith a dde o f ar x=π. Mae'r esiampl yma yn dangos theorem Dirichlet ar gyfres Fourier.

Eginyn erthygl sydd uchod am fathemateg. Gallwch helpu Wicipedia drwy ychwanegu ato