Peiriant ffa

Peiriant ffa

Bwrdd Galton wrth i'r ffa cwympo

Mae'r peiriant ffa, a elwir hefyd yn Fwrdd Galton neu quincunx, yn ddyfais a ddyfeisiwyd gan Syr Francis Galton i arddangos y theorem terfyn canolog. Yn arbennig mae'n dangos bod y dosraniad binomaidd yn agosáu at y dosraniad normal wrth i faint y sampl cynyddu.

Disgrifiad

Mae Bwrdd Galton yn cynnwys bwrdd fertigol gyda rhesi rhyng-ddalennog o begiau. Mae ffa yn cael eu gollwng o'r brig a, phan fydd y ddyfais yn wastad, mae'r ffa yn bownsio naill ai i'r chwith neu'r dde wrth daro'r pegiau. Yn y pen draw, cânt eu casglu mewn biniau ar y gwaelod, lle mae uchder y colofnau o ffa sydd wedi'u cronni yn y biniau yn agosáu at gromlin gloch y dosraniad normal. Mae troshaenu triongl Pascal ar ben y pegiau yn dangos nifer y gwahanol lwybrau y gellir eu cymryd i gyrraedd pob bin.

Gellir gweld modelau gweithiol raddfa fawr o'r ddyfais hon a grëwyd gan Charles a Ray Eames yn arddangosion parhaol yn yr Amgueddfa Wyddoniaeth Boston, Neuadd Wyddoniaeth Efrog Newydd, a'r Amgueddfa Henry Ford. Mae fersiwn arall ar raddfa fawr yn cael ei harddangos yn lobi Index Fund Advisors yn Irvine, Califfornia.

Gellir adeiladu peiriannau ffa ar gyfer dosraniadau eraill trwy newid siâp y pinnau neu eu gogwyddo tuag at un cyfeiriad (mae peiriannau ffa bimodaidd yn bosib hyd yn oed ). Adeiladwyd peiriant ffa ar gyfer y dosraniad log-normal (sy'n gyffredin mewn llawer o brosesau naturiol, yn enwedig rhai biolegol), sy'n defnyddio trionglau isosgeles o ledau amrywiol i 'luosi' y pellter y mae'r ffa yn eu teithio yn lle meintiau sefydlog a fyddai'n 'symio'. Cafodd ei adeiladu gan Jacobus Kapteyn wrth astudio a phoblogeiddio ystadegau'r dosraniad lognormal. O 1963 ymlaen cafodd ei gadw ym Mhrifysgol Groningen. Adeiladwyd peiriant ffa log-normal gwell gan Eckhard Limpert.

Dosraniad y ffa

Os yw ffeuen yn bownsio i'r dde k gwaith ar ei ffordd i lawr (ac i'r chwith ar y pegiau sy'n weddill) byddai'n gorffen yn y k-fed bin wrth gyfri o'r chwith. Gan ddynodi nifer y rhesi o begiau mewn Bwrdd Galton gan n, rhoddir nifer y llwybrau i'r k-fed bin ar y gwaelod gan y cyfernod binomial ${n \choose k}$. Os yw'r tebygolrwydd o fownsio i'r dde ar begyn yn p (mewn peiriant heb duedd mae p=0.5) mae'r tebygolrwydd y bydd y bêl yn gorffen yn y k-fed bin yn hafal i ${n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$. Dyma ffwythiant màs tebygolrwydd y dosraniad binomaidd.

Yn ôl y theorem terfyn canolog (yn fwy penodol, theorem de Moivre-Laplace), mae'r dosraniad binomaidd yn brasamcanu'r dosraniad normal ar yr amod bod nifer y rhesi a nifer y ffa yn fawr.