Digwyddiad (theori tebygolrwydd)

Digwyddiad

Enghraifft o'r canlynol	term ystadegol, is-set
Math	set y gellir ei mesur
Ffeiliau perthnasol ar Gomin Wicimedia

Mewn theori tebygolrwydd, mae digwyddiad yn set o ganlyniadau arbrawf (is -set o'r gofod sampl) y rhoddir tebygolrwydd iddo. Gall un canlyniad fod yn elfen o lawer o wahanol ddigwyddiadau, ac fel rheol nid yw gwahanol ddigwyddiadau mewn arbrawf yr un mor debygol, oherwydd gallant gynnwys grwpiau gwahanol iawn o ganlyniadau.

Gelwir digwyddiad sy'n cynnwys un canlyniad yn unig yn ddigwyddiad elfennol neu'n ddigwyddiad atomig; hynny yw, set sengl (neu singleton) ydyw. Dywedir i ddigwyddiad $S$ ddigwydd os yw $S$ yn cynnwys y canlyniad $x$ o'r arbrawf (neu'r prawf) (hynny yw, os ydy $x\in S$ ). Y tebygolrwydd y bydd digwyddiad $S$ yn digwydd yw'r tebygolrwydd bod $S$ yn cynnwys y canlyniad $x$ o arbrawf (hynny yw, mae'n bur debygol fod $x\in S$ ). Mae digwyddiad yn diffinio digwyddiad cyflenwol, sef y set gyflenwol (y siawns i'r digwyddiad beidio a digwydd), a gyda'i gilydd mae'r rhain yn diffinio prawf Bernoulli: a ddigwyddodd y digwyddiad ai peidio?

Enghraifft syml

Os ydym yn cydosod pecyn o 52 o gardiau chwarae heb unrhyw jocyrs, ac yn tynnu cerdyn sengl o'r pecyn, yna mae'r gofod sampl yn set 52-elfen, gan fod pob cerdyn yn ganlyniad posibl. Digwyddiad, fodd bynnag, yw unrhyw is-set o'r gofod sampl, gan gynnwys unrhyw set sengl (digwyddiad elfennol), y set wag (digwyddiad amhosibl, gyda thebygolrwydd o sero) a'r gofod sampl ei hun (digwyddiad penodol, gyda thebygolrwydd o un). Mae digwyddiadau eraill yn is-setiau cywir o'r gofod sampl sy'n cynnwys sawl elfen. Felly, er enghraifft, mae digwyddiadau posib yn cynnwys:

Diagram Euler o ddigwyddiad. $B$ yw'r gofod sampl ac $A$ yw'r ddigwyddiad. Yn ôl cymhareb eu harwynebedd, tebygolrwydd $A$ yw tua 0.4.

• "Coch a du ar yr un pryd heb fod yn jocyr" (0 elfen),
• "5 Calon" (1 elfen),
• "Brenin" (4 elfen),
• "Cerdyn Uwch" (face cards) (12 elfen),
• "Rhaw" (13 elfen),
• "Cerdyn Uwch neu siwt goch" (32 elfen),
• "Cerdyn" (52 elfen).

Gan mai setiau yw pob digwyddiad, fe'u hysgrifennir fel setiau fel arfer (er enghraifft, {1, 2, 3}), a'u cynrychioli'n graffig gan ddefnyddio diagramau Venn. Yn y sefyllfa lle mae pob canlyniad yn y gofod sampl, mae Ω yr un mor debygol, y tebygolrwydd $P$ o ddigwyddiad $A$ yw'r fformiwla canlynol :

$$\mathrm {P} (A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\,\ \left({\text{neu:}}\ \Pr(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}\right)$$

Gellir cymhwyso'r rheol hon yn rhwydd i bob un o'r digwyddiadau enghreifftiol uchod.

Nodyn ar y nodiant

Er bod digwyddiadau yn is-setiau o rywfaint o ofod $\Omega ,$ fe'u hysgrifennir yn aml fel rhagfynegiadau neu ddangosyddion sy'n cynnwys hapnewidynnau. Er enghraifft, os yw $X$ yn hapnewidyn real a ddiffinnir ar y gofod sampl $\Omega ,$ gellir ysgrifennu'r digwyddiad

$$\{\omega \in \Omega \mid u<X(\omega )\leq v\}\,$$

yn syml, fel

$$u<X\leq v\,.$$

Mae hyn yn arbennig o gyffredin mewn fformwlâu ar gyfer tebygolrwydd, fel

$$\Pr(u<X\leq v)=F(v)-F(u)\,.$$

Mae'r set $u<X\leq v$ yn enghraifft o ddelwedd wrthdro (inverse image) dan y mapio $X$ oherwydd $\omega \in X^{-1}((u,v])$ os a dim ond os $u<X(\omega )\leq v.$