Damcaniaeth setiau Zermelo–Fraenkel

Damcaniaeth setiau Zermelo–Fraenkel

Enghraifft o'r canlynol	Damcaniaeth setiau wirebol
Yn cynnwys	gwireb yr ymestyniad, gwireb rheoleidd-dra, sgema gwireb y fanyleb, gwireb baru, gwireb gyswllt, sgema gwireb o amnewid, gwireb anfeidraidd, axiom of power set

O fewn damcaniaeth setiau, mae damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel (neu Theori setiau Zermelo-Fraenkel) a enwyd ar ôl y mathemategwyr Almaenig Ernst Zermelo ac Abraham Fraenkel, yn system wirebol a gynigiwyd yn gynnar yn yr 20g er mwyn ffurfio'r ddamcaniaeth setiau yn rhydd o baradocsau megis paradocs Russel. Heddiw, damcaniaeth set Zermelo-Fraenkel, gyda'r wireb o ddewis (AC) dadleuol wedi'i chynnwys, yw ffurf safonol damcaniaeth setiau gwirebol ac o'r herwydd dyma sylfaen fwyaf cyffredin mathemateg. Mae theori set Zermelo-Fraenkel gyda'r wireb o ddewis wedi'i chynnwys yn ZFC cryno, lle mae C yn sefyll am "ddewis" (choice), ac mae ZF yn cyfeirio at wirebau damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel gyda'r wireb o ddewis wedi'i heithrio.

Bwriad damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel yw ffurfioli'r syniad cyntefig o set etifeddol o sail dda, fel bod yr holl endidau yn y bydysawd o drafodaeth yn setiau o'r fath. Felly mae gwirebau damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel yn cyfeirio at setiau pur yn unig ac yn atal ei fodelau rhag cynnwys urelements (elfennau o setiau nad ydyn nhw eu hunain yn setiau). At hynny, dim ond yn anuniongyrchol y gellir trin 'dosbarthiadau cywir'; casgliadau o wrthrychau mathemategol a ddiffinnir gan briodwedd a rennir gan eu haelodau, lle mae'r casgliadau'n rhy fawr i fod yn setiau yw dosbarthiadau cywir.

Yn benodol, nid yw damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel yn caniatáu set gyffredinol (set sy'n cynnwys pob set) nac ar gyfer sgema gwireb y fanyleb (axiom schema of specification), a thrwy hynny osgoi paradocs Russell. Mae theori set Von Neumann - Bernays - Gödel (NBG) yn estyniad ceidwadol a ddefnyddir yn gyffredin i ddamcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel sy'n caniatáu triniaeth benodol i ddosbarthiadau cywir.

Ceir llawer o fformiwleiddiadau cyfatebol o wirebau damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel. Mae'r rhan fwyaf o'r gwirebau'n nodi bodolaeth setiau penodol a ddiffinnir o setiau eraill. Er enghraifft, mae'r wireb paru yn dweud: o ystyried unrhyw ddwy set $a$ a $b$ mae set newydd $\{a,b\}$ yn cynnwys yn union $a$ a $b$. Mae gwirebau eraill yn disgrifio priodweddau aelodaeth benodol. Nod y gwirebau hyn yw y dylai pob gwireb fod yn wir os caiff ei ddehongli fel datganiad am gasgliad yr holl setiau ym mydysawd von Neumann (a elwir hefyd yn hierarchaeth gronnus). Yn ffurfiol, mae ZFC yn ddamcaniaeth un-didol (one-sorted theory) mewn rhesymeg trefn gyntaf. Mae gan y llofnod gydraddoldeb ac un berthynas ddeuaidd gyntefig, aelodaeth benodol, a ddynodir fel arfer fel $\in$. Mae'r fformiwla $a\in b$ yn golygu bod y set $a$ yn aelod o'r set $b$ (sydd hefyd yn cael ei ddarllen, "mae $a$ yn elfen o $b$" neu "mae $a$ oddi fewn i $b$").