Triawdau Pythagoraidd

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Animeiddiad sy'n arddangos y triawd Pythagoraidd symlaf, 32 + 42 = 52.

Set o rifau yw'r triawdau Pythagoraidd, sef tri cyfanrif positif a, b, ac c, lle mae a2 + b2 = c2. Yn aml, caiff y rhifau triphlyg hyn eu sgwennu fel (a, b, c), a'r enghraifft fwyaf adnabyddus yw (3, 4, 5). Os yw (a, b, c) yn driawd Pythagoraidd, yna mae (ka, kb, kc) hefyd, ar gyfer unrhyw cyfanrif positif k.

Triawd cysefin Pythagoraidd yw'r set lle mae a, b ac c yn 'gyd-gysefin' (coprime), hynny yw, nid oes ganddynt rannydd cyffredin mwy nag 1.[1] Mae'r triongl a gaiff ei ffurfio gyda rhifau triphlyg Pythagoras yn driongl ongl sgwâr, a gelwir ef yn "driongl Pythagoras".

O fewn Theorem Olaf Fermat, mae gan yr hafaliad Pythagoraidd x2 + y2 = z2 nifer anfeidraidd o gyfanrifau positif ar gyfer x, y, a z; sef y triawdau Pythagoraidd hyn.

Daw'r enw o theorem Pythagoras, ac mae'n nodi fod hyd holl ochrau triongl yn bodloni'r fformiwla a2 + b2 = c2. Felly, y triawd yw'r dair ochr hyn, y tri cyfanrif yma o'r triongl ongl sgwâr. Sylwer fod yn rhaid i'r ochrau fod yn gyfanrifau. Er enghraifft, er bod triongl gyda'i hochrau yn a = b = 1 and c = 2 yn driongl ongl sgwâr, nid yw (1, 1, 2) yn driawdau Pythagoraidd gan nad yw 2 yn gyfanrif. Ar ben hyn, nid oes gan 1 a 2 rannydd cyffredin sy'n gyfanrif, gan nad yw 2 yn anghymarebol.

Gŵyr mathemategwyr am driawdau Pythagoraidd ers canrifoedd ac mae'r enghraifft gynharaf ohonynt i'w weld ar lechen o glai a elwir yn "Plimpton 322" ac a ganfuwyd ym Mabilon ac a ysgythrwy i fewn i'r clai tua 1800 CC. Fe'i canfuwyd gan Edgar James Banks ychydig wedi 1900.

Enghreifftiau[golygu | golygu cod y dudalen]

Ceir 16 triawd cysefin Pythagoraidd, gyda c ≤ 100:

(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)

Noder, fodd bynnag, nad yw (6, 8, 10) yn driawd cysefin Pythagoraidd, gan ei fod yn lluoswm o (3, 4, 5).

Yn ychwanegol at y rhain, mae'r canlynol yn driawdau cysefin Pythagoraidd gyda 100 < c ≤ 300:

(20, 99, 101) (60, 91, 109) (15, 112, 113) (44, 117, 125)
(88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145) (51, 140, 149)
(85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173) (19, 180, 181)
(57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193) (28, 195, 197)
(84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221) (140, 171, 221)
(60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241) (32, 255, 257)
(23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269) (115, 252, 277)
(160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)

Cynhyrchu triawdau[golygu | golygu cod y dudalen]

Triawd cysefin Pythagoraidd. Gwelir yma'r 'coesyn' odrifol a ar yr echelin llorweddol a'r coesyn b ar yr echelin fertig. Cynhyrchwyd y grid cromlinog hwn gyda chromlinau o'r cysonyn m − n a'r cysonyn m + n o fewn fformiwl Euclid.

Mae 'fformiwla Euclid' yn fformiwla ffwndamental ar gyfer cynhyrchu triawdau Pythagoraidd, o dderbyn parau o gyfanrifau m ac n gyda m > n > 0. Noda'r fformiwla fod y cyfanrifau

yn ffurfio triawd Pythagoraidd.[2]

Mae'r triawd a gynhyrchir o fformiwla Euclid yn gysefin os a dim ond os yw m ac n yn gyd-gysefin ac nad yw'r ddau yn odrifau.[3]

Gweler hefyd[golygu | golygu cod y dudalen]

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Long (1972, p. 48)
  2. Joyce, D. E. (June 1997), "Book X , Proposition XXIX", Euclid's Elements, Clark University, https://mathcs.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookX/propX29.html
  3. Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", The Mathematical Gazette 85 (503): 273–5, doi:10.2307/3622017, JSTOR 3622017