Theorem gwaddod

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search

Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r theorem gwaddod, a elwir weithiau'n theorem gwaddod Cauchy, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

Datganiad[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r datganiad fel a ganlyn:

Darlun o'r lleoliad.

Gadewch i U fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau a1, ..., an, U0 = U \ {a1, ..., an}, a ffwythiant f sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar U0. Gadewch γ fod yn gromlin gaeedig yn U0, ac yn dynodi rhif dirwyniad (winding number) γ o gwmpas ak gan I(γ, ak). Mae'r integryn amlin o f o amgylch γ yn hafal i 2πi lluosi swm gwaddodion f yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae γ yn troelli o amgylch y pwynt:

Os yw γ yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae I(γ, ak) = 1 os yw ak tu mewn i γ, a 0 os na, felly

gyda'r swm dros yr ak sydd tu mewn γ.[1]

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

Enghreifft[golygu | golygu cod y dudalen]

Integryn ar hyd yr echel go iawn[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae'r integryn

Yr amlin C.

yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod t > 0, a diffiniwch yr amlin C sy'n mynd ar hyd y llinell real o a i a, ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o a i a. Cymerwch a i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin

Gan fod eitz yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur z2 + 1 yn sero. Gan fod z2 + 1 = (z + i)(zi), mae hwn yn sero yn z = i ac z = −i. Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod f(z) yn

gwaddod f(z) yn z = i yw

Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym

Gellir ymrannu'r amlin C i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod

ac felly

Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym

ac

Felly, mae

Os yw t < 0 yna mae dadl debyg gydag arc C' sy’n troelli o gwmpas i yn hytrach nag i yn dangos fod

Yr amlin C'.

ac felly, yn olaf mae gennym

(Os yw t = 0 yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw π. )

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  • Ahlfors, Lars (1979). Complex Analysis. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
  • Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions (yn Ffrangeg). Editions Jacques Gabay (cyhoeddwyd 1989). ISBN 2-87647-060-8.
  • Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). The Cauchy method of residues: Theory and applications. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
  • Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1920). A Course of Modern Analysis (arg. 3rd). Cambridge University Press.
  1. Whittaker & Watson 1920, §6.1.