Deddfau De Morgan

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Cynrychiolodd deddfau De Morgan â diagramau Venn. Ymhob achos, y set sydd angen yw'r set o bob pwynt yn y cysgod las.

Mewn rhesymeg osodiadol ac algebra Boole, mae deddfau De Morgan[1][2] yn bâr o reolau trawsnewidiad dilys. Fe'u henwir ar ôl Augustus De Morgan, mathemategydd Prydeinig o'r 19eg ganrif. Mae'r rheolau yn caniatáu mynegi uniadau a chroestoriadau yn nhermau ei gilydd trwy eu cyflenwad.

Gellir mynegi'r rheolau yn Gymraeg fel:

mae cyflenwad uniad dwy set yr yn hafal i groestoriad eu cyflenwadau; a
mae cyflenwad croestoriad dwy set yn hafal i uniad eu cyflenwadau.

neu

nid (A neu B) = nid A ac nid B; a
nid (A a B) = nid A neu beidio B.

Mewn damcaniaeth setiau ac algebra Boole, ysgrifennir y rhain yn ffurfiol fel

lle

  • Setiau yw A a B,
  • A yw cyflenwad A,
  • ∩ yw'r croestoriad, ac
  • ∪ yw'r uniad.

Hanes[golygu | golygu cod y dudalen]

Enwir y deddfau ar ôl Augustus De Morgan (1806-1871),[3] a gyflwynodd fersiwn ffurfiol o'r deddfau hyn mewn rhesymeg osodiadol glasurol. Cafodd ffurfiad De Morgan ei ddylanwadu gan waith George Boole a chymhwysodd algebra i resymeg. Serch hynny, gwnaeth Aristoteles sylw tebyg, ac roedd yn hysbys i logistegwyr Groegaidd a Chanoloesol.[4] Er enghraifft, yn y 14g, ysgrifennodd William o Ockham y deddfau mewn geiriau.[5] Gwnaeth Jean Buridan, yn ei Summulae de Dialectica, hefyd disgrifio rheolau tebyg i ddeddfau De Morgan.[6] Ond rhoddir clod i De Morgan am nodi’r deddfau yn nhermau rhesymeg ffurfiol fodern, a’u hymgorffori yn iaith rhesymeg. Gellir profi deddfau De Morgan yn hawdd, a gallant hyd yn oed ymddangos yn ddibwys.[7] Serch hynny, mae'r deddfau hyn yn ddefnyddiol wrth wneud casgliadau dilys mewn profion a dadleuon diddwythol.

Prawf ffurfiol[golygu | golygu cod y dudalen]

Fan hyn defnyddiwn i ddynodi cyflenwad A. Mae'r prawf bod yn cael ei gwblhau mewn dau gam trwy brofi bod a bod .

Rhan 1[golygu | golygu cod y dudalen]

Gadewch i . Yna, .

Oherwydd bod , rhaid ei fod yn wir fod neu .

Os yw , yna mae , felly mae .

Yn yr un modd, os yw , yna mae , felly mae .

Felly, ;

hynny yw, .

Rhan 2[golygu | golygu cod y dudalen]

I brofi'r cyfeiriad gwrthwyneb, gadewch i , ac er mwyn cael gwrthddywediad tybiwch fod .

O dan y dybiaeth honno, rhaid ei bod yn wir fod ,

felly mae'n dilyn bod ac , ac felly bod a.

Fodd bynnag, mae hynny'n golygu bod , yn groes i'r rhagdybiaeth bod ,

felly, ni all y dybiaeth fod yn wir, sy'n golygu bod .

Felly, ,

hynny yw, .

Casgliad[golygu | golygu cod y dudalen]

Os yw ac , yna mae ; mae hyn yn cyflawni prawf deddf De Morgan.

Gallwn brofi'r ddeddf De Morgan arall, , yn yr un modd.

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Copi, Irving M. (1994). Introduction to logic. Cohen, Carl, 1931- (arg. 9th ed). New York: Macmillan Pub. ISBN 0-02-325041-0. OCLC 27266936.CS1 maint: extra text (link)
  2. Hurley, Patrick J., 1942-. A concise introduction to logic (arg. Twelfth edition). Australia. ISBN 978-1-285-19654-1. OCLC 868318644.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
  3. DeMorgan’s Theorems at mtsu.edu
  4. BOCHE SKI, I. M. (2015). History of formal logic (classic reprint). FORGOTTEN Books. ISBN 1-330-37650-1. OCLC 983489835.
  5. William of Ockham, Summa Logicae, part II, sections 32 and 33.
  6. Jean Buridan, Summula de Dialectica. Trans. Gyula Klima. New Haven: Yale University Press, 2001. See especially Treatise 1, Chapter 7, Section 5. ISBN 0-300-08425-0
  7. Augustus De Morgan (1806–1871) Archifwyd 2010-07-15 yn y Peiriant Wayback. gan Robert H. Orr