Corn Gabriel

Oddi ar Wicipedia
Jump to navigation Jump to search
Darlun 3D o gorn Gabriel.

Ffigwr geometreg yw Corn Gabriel (a elwir hefyd yn trymped Torricelli) sydd ag arwynebedd anfeidraidd ond cyfaint meidraidd. Mae'r enw'n cyfeirio at y traddodiad Abrahamaidd lle mae'r archangel Gabriel yn chwythu'r corn i gyhoeddi Dydd y Farn, sy'n gysylltu'r dwyfol, neu'r anfeidrol, â'r meidraidd. Astudiwyd priodweddau'r ffigur hwn gyntaf gan y ffisegydd a mathemategydd Eidalaidd Evangelista Torricelli yn yr 17eg ganrif.

Diffiniad mathemategol[golygu | golygu cod y dudalen]

Graff .

Ffurfir corn Gabriel trwy gymryd y graff

gyda'r parth , a'i gylchdroi mewn tri dimensiwn o amgylch yr echelyn-x. Darganfuwyd yn wreiddiol gan ddefnyddio egwyddor Cavalieri cyn cafodd calcwlws ei ddyfeisio. Heddiw gallwn defnyddio calcwlws i gyfrifo cyfaint ac arwynebedd y corn rhwng x = 1 ac x = a, lle a > 1. Trwy ddefnyddio integreiddio mae'n bosib dod o hyd i'r cyfaint V ac arwynebedd yr arwyneb A:

Gall gwerth a fod mor fawr a sydd angen: gallwn gweld o'r hafaliad na fydd cyfaint y corn rhwng x = 1 ac x = a byth fwy na π; fodd bynnag wrth i a cynyddu mae'r cyfaint yn raddol yn agosáu at π. Yn fathemategol, yn defnyddio nodiant terfan calcwlws:

Mae'r fformiwla arwynebedd uchod yn rhoi arffin is ar gyfer yr arwynebedd i fod fel 2π lluosi'r logarithm naturiol o a. Nid yw'r logarithm naturiol yn ffinedig uwchben. Mae hynny'n golygu, yn yr achos hwn, bod gan y corn arwynebedd anfeidraidd. Hynny yw,

Paradocs ymddangosiadol[golygu | golygu cod y dudalen]

Pan ddarganfuwyd priodweddau corn Gabriel yn gyntaf, ystyriwyd bod y ffaith bod cylchdroi rhanbarth anfeidrol o'r plân-xy o amgylch yr echelyn-x yn gallu cynhyrchu gwrthrych gyda cyfaint meidraidd, i fod yn baradocs. Ond, wrth feddwl, gallwn deall y fenomenon:

Gellir trin y corn fel pentwr o ddisgiau gyda radiws sy'n lleihau. Mae swm y radiws yn cynhyrchu cyfres harmonig anfeidredd. Fodd bynnag, y cyfrifiad cywir yw swm eu sgwariau. Mae gan bob disg radiws r = 1/x ac arwynebedd πr2 neu π/x2. Mae'r gyfres 1/x yn dargyfeirio ond mae 1/x2 yn cydgyfeirio. Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw go iawn ε > 0, mae 1/x1+ε yn cydgyfeirio.

Roedd y paradocs ymddangosiadol hyn yn rhan o ddadl ynghlyn â natur anfeidredd, a oedd yn cynnwys nifer o feddylwyr allweddol yr oes gan gynnwys Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo Galilei.[1]

Paradocs y paentiwr[golygu | golygu cod y dudalen]

Oherwydd fod gan y corn gyfaint meidraidd ond arwynebedd anfeidraidd, mae yna'r paradocs canlynol: gallai'r corn gael ei lenwi â swm meidraidd o baent ac eto ni fyddai'r paent hwnnw'n ddigonol i orchuddio ei arwyneb mewnol. Datrysir y paradocs trwy sylweddoli y gall swm meidraidd o baent orchuddio arwynebedd anfeidrol - yn syml mae angen iddo deneuo ar gyfradd ddigon cyflym. Yn yr achos lle mae'r corn wedi'i lenwi â phaent, cyflawnir y teneuo hwn gan y gostyngiad cynyddol mewn diamedr gwddf y corn.

Gwrthdro[golygu | golygu cod y dudalen]

Mae gwrthwyneb i gorn Gabriel yn amhosib - ni ellir creu arwyneb chwyldro sydd ag arwynebedd meidraidd ond cyfaint anfeidraidd.

Cyfeiriadau[golygu | golygu cod y dudalen]

  1. Havil, Julian (2007). Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas. Princeton University Press. pp. 82–91. ISBN 0-691-12056-0.