Integryn

Un o brif gysyniadau'r calcwlws yw integryn. Pwrpas integreiddio rhifiadol yw i ddod o hyd i ardal o dan y gromlin rhwng dau bwynt diwedd. Hynny yw y gallu i werthuso

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

lle mae a a b cael eu rhoi ac mae f yn ffwythiant a roddwyd yn ddadansoddol neu fel tabl o werthoedd.

Integryn pendant

Yr arwynebedd, S, dan y graff yw'r integryn pendant, $\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Ystyriwch wrthrych sy'n teithio ar fuanedd cyson. Gellir darganfod y pellter a deithiwyd ar ôl rhyw amser x drwy luosi'r buanedd gyda'r amser. Ystyriwch yn awr wrthrych sy'n teithio ar fuanedd anghyson, f. Ar y graff ar y dde, y = f, x yw amser, ac ardal S yw'r pellter a deithiwyd yn ystod y cyfnod b - a. Nid yw lluosi syml yn ddigonol i ddarganfod y pellter a deithiwyd gan fod y buanedd yn newid o un eiliad i'r llall. Fodd bynnag gallem rannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau bach hafal, δx. Yna gallem luosi pob ysbaid δx gydag un o'r buaneddau f yn ei ystod. Yn olaf er mwyn cael bras amcan o'r pellter S a deithiwyd gallem adio i fyny'r cynyddrannau pellter f * δx:

$S\approx \sum f\ \delta x.$

Er mwyn gwella'r bras amcan gellir rhannu'r cyfnod o amser i mewn i ysbeidiau δx llai ac ail adrodd y broses. Wrth i δx agosáu at 0, mae nifer yr ysbeidiau, N, yn agosáu at anfeidredd ac mae'r swm uchod yn agosáu at derfyn sy'n hafal i'r pellter a deithiwyd. Yr integryn yw'r terfyn hwn ble mae f yn ffwythiant o x:

$S=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\delta x\to 0}\sum _{i=1}^{N}f(x_{i})\ \delta x,$

ble $\delta x={\dfrac {b-a}{N}}.$

Mae'r terfyn uchod yn ddiffiniad o'r gweithrediad rhifadol sy'n rhoi integryn y ffwythiant f(x). Fodd bynnag o ganlyniad i ddamcaniaeth sylfaenol calcwlws a ddarganfuwyd gan Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz yn y 1670au gellir cyfrifo'r integryn pendant drwy werthuso gwrthddifferiadau:

$\int _{a}^{b}f(x)\ dx=F(b)-F(a),$

ble $F'(x)=f(x).$

Integryn amhendant

Y gwrthddifferiad yw'r integryn amhendant. Hynny yw ffwythiant gyda'r gwerth canlynol ar bob pwynt x:

$\int _{a}^{x}f(x)\,dx$

lle mae a yn gysonyn, annibynnol o x.

Fe ysgrifennir yr integryn amhendant yn gyffredin fel:

$\int f(x)\,dx$

O ganlyniad i'r berthynas wrthdro rhwng differu ac integru, os cyfrifir deilliad integryn, y ffwythiant gwreiddiol yw'r canlyniad:

$\int f'(x)\ dx=f(x)$

Os mae g(x) yn integryn amhendant f(x), mae g(x)+C hefyd yn integryn amhendant f(x) ar gyfer pob cysonyn C annibynnol o x. Nid un ffwythiant yw integryn amhendant, felly, eithr cyfres o ffwythiannau, a wahanir drwy adio cysonyn.

Integrynnau cyffredin

• Polynymiad:

$\int x^{n}\ dx={\frac {1}{n+1}}x^{n+1}+C,\ n\neq -1$

• Ffwythiant exp(x):

$\int e^{x}\ dx=e^{x}+C$

• Ffwythiant x^-1:

$\int {\frac {1}{x}}\ dx=\ln x+C$

• Y logarithm naturiol:

$\int \ln x\ dx=x\ln x-x+C$

• Deilliad gwrthdro ffwythiant tan:

$\int {\frac {1}{x^{2}+1}}\ dx=\arctan x+C$

Ysgrifennu'r symbol ar gyfrifaduron

Côd ar gyfer y symbol ∫ yw 222B hecsadegol yn Unicode; gellir ei ysgrifennu fel ∫ yn HTML.